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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Di 29.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wusste nicht so ganz, wo diese Frage hier hingehört, deswegen stelle ich sie mal bei Uni-Sonstiges...
Ich verstehe folgende Musterlösung nicht so ganz - vllt könnte mir jemand auf die Sprünge helfen!?
Zu zeigen war, dass es keine Surjektion [mm] S:X\to [/mm] P(X) gibt. (wobei P(X) die Potenzmenge ist)
Nun steht in der Musterlösung folgendes:
Allgemein gilt: Sei X eine Menge. Dann gilt |X|<|P(X)| (d. h. es gibt eine Injektion von X nach P(X), aber keine von P(X) nach X.) Die Injektion ist gegeben durch [mm] x\mapsto\{x\}.
[/mm]
Wird hier jetzt im folgenden gezeigt, dass es keine solche Injektion gibt? Ich glaube schon, oder?
Angenommen, [mm] I:P(X)\to [/mm] X wäre eine Injektion. Dann gäbe es auch eine Surjektion [mm] S:X\to [/mm] P(X):
[mm] S(x):=\begin{cases} min\{Y|Y\in P(X)\wedge I(Y)=x}, & \mbox{falls diese Menge nicht leer ist } \\ \{\}, & \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
Wenn es eine Injektion gäbe, warum gäbe es dann auch eine Surjektion? (Evtl. ist das nur ein einfacher Zusammenhang aus der linearen Algebra, aber ich sehe es gerade irgendwie nicht...)
[mm] \empty
[/mm]
Dann sei [mm] Y:=\{x\in X|x\notin S(x)\}
[/mm]
Da nach obigem S surjektiv sein müsste, (warum ist S eigentlich surjektiv???) gäbe es [mm] x\in [/mm] X mit S(x)=Y (das verstehe ich auch nicht!? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") müsste es nicht für jedes Element y aus P(X) ein Element [mm] x\in [/mm] X geben, sodass S(x)=y gilt?). Falls [mm] x\in [/mm] Y, so gilt per Definition [mm] x\notin [/mm] S(x), Widerspruch. Falls aber [mm] x\notin [/mm] Y, so gilt per Definition (welche Definition ist hier gemeint?) [mm] x\in [/mm] S(x)=Y (und wieso ist S(x)=Y???), Widerspruch.
Also kann S nicht surjektiv und damit I nicht injektiv sein.
Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen, es wäre allerdings etwas dringend... (also so morgen früh...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Di 29.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Allgemein gilt: Sei X eine Menge. Dann gilt |X|<|P(X)| (d.
> h. es gibt eine Injektion von X nach P(X), aber keine von
> P(X) nach X.) Die Injektion ist gegeben durch
> [mm]x\mapsto\{x\}.[/mm]
>
> Wird hier jetzt im folgenden gezeigt, dass es keine solche
> Injektion gibt? Ich glaube schon, oder?
Die Injektion in die eine Richtung steht ja da - es wird im folgenden gezeigt, dass die andere Injektion nicht existiert.
> Angenommen, [mm]I:P(X)\to[/mm] X wäre eine Injektion. Dann gäbe es
> auch eine Surjektion [mm]S:X\to[/mm] P(X):
>
> [mm]S(x):=\begin{cases} min\{Y|Y\in P(X)\wedge I(Y)=x}, & \mbox{falls diese Menge nicht leer ist } \\ \{\}, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm]
Was soll das min denn hier bedeuten? Reicht oben nicht [m]Y\mbox{ falls }\exists Y\in P(X) (I(Y)=x)[/m]. Das reicht doch wg. der angeblichen Injektivität. (Und die Definition ist eindeutig - mach dir das bitte klar.)
> Wenn es eine Injektion gäbe, warum gäbe es dann auch eine
> Surjektion? (Evtl. ist das nur ein einfacher Zusammenhang
> aus der linearen Algebra, aber ich sehe es gerade irgendwie
> nicht...)
Einfacher Zusammenhang: ja. Aber mit Algebra hat es weniger zu tun. Warum es so eine gibt? Naja, sie wurde gerade konstruiert ... warum das surjektiv ist, solltest du dir selbst überlegen, aber siehe unten.
> Dann sei [mm]Y:=\{x\in X|x\notin S(x)\}[/mm]
>
> Da nach obigem S surjektiv sein müsste, (warum ist S
> eigentlich surjektiv???)
Überleg dir mal bei meiner Veränderung, warum sie surjektiv ist - aber das ist fast offensichtlich, da jedes Element in P(X) ja durch I eindeutig auf ein [m]x\in X[/m] abgebildet wird. Hochtrabener gilt ja: die Urbilder mittels [m]I^{-1}[/m] sind ja entweder die leere Menge oder eine einpunktige Menge. Das beschreibt auch quasi die Abbildung.
> gäbe es [mm]x\in[/mm] X mit S(x)=Y (das
> verstehe ich auch nicht!? müsste es nicht für jedes
> Element y aus P(X) ein Element [mm]x\in[/mm] X geben, sodass S(x)=y
> gilt?).
Ja. Und: ja und? Wenn es für alle gilt, gilt es insbesondere für ein bestimmtes - das ist ja total banal. Ich sehe die Schwierigkeit nicht.
> Falls [mm]x\in[/mm] Y, so gilt per Definition [mm]x\notin[/mm] S(x),
> Widerspruch. Falls aber [mm]x\notin[/mm] Y, so gilt per Definition
> (welche Definition ist hier gemeint?)
die von Y latürnlich. 
> [mm]x\in[/mm] S(x)=Y (und
> wieso ist S(x)=Y???), Widerspruch.
Vorraussetzung!
> Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen, es wäre allerdings
> etwas dringend... (also so morgen früh...)
Wieso dringend? Für ein Übungsblatt? Musst du das vorrechnen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 29.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > Allgemein gilt: Sei X eine Menge. Dann gilt |X|<|P(X)| (d.
> > h. es gibt eine Injektion von X nach P(X), aber keine von
> > P(X) nach X.) Die Injektion ist gegeben durch
> > [mm]x\mapsto\{x\}.[/mm]
> >
> > Angenommen, [mm]I:P(X)\to[/mm] X wäre eine Injektion. Dann gäbe es
> > auch eine Surjektion [mm]S:X\to[/mm] P(X):
> >
> > [mm]S(x):=\begin{cases} min\{Y|Y\in P(X)\wedge I(Y)=x}, & \mbox{falls diese Menge nicht leer ist } \\ \{\}, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm]
>
> Was soll das min denn hier bedeuten? Reicht oben nicht
> [m]Y\mbox{ falls }\exists Y\in P(X) (I(Y)=x)[/m]. Das reicht doch
> wg. der angeblichen Injektivität. (Und die Definition ist
> eindeutig - mach dir das bitte klar.)
Was weiß denn ich, was das min bedeuten soll - sagte ich nicht, dass das die Musterlösung sei? Da mache ich mir keine Gedanken drüber, ob man das noch anders machen kann, sondern versuche erstmal, es überhaupt zu verstehen! (Aber jetzt sehe ich auch, dass das ja eigentlich Blödsinn ist - werde mal nachfragen...)
Und was meinst du mit "die Definition ist eindeutig"? Wie könnte sie denn nicht eindeutig sein? Irgendwie habe ich wohl wieder ein Brett vorm Kopf...
> > Wenn es eine Injektion gäbe, warum gäbe es dann auch eine
> > Surjektion? (Evtl. ist das nur ein einfacher
> Zusammenhang
> > aus der linearen Algebra, aber ich sehe es gerade
> irgendwie
> > nicht...)
>
> Einfacher Zusammenhang: ja. Aber mit Algebra hat es weniger
> zu tun. Warum es so eine gibt? Naja, sie wurde gerade
> konstruiert ... warum das surjektiv ist, solltest du dir
> selbst überlegen, aber siehe unten.
Übrigens überlege ich mir bei so etwas immer zuerst, wie es denn sein könnte, bevor ich nachfrage. Wenn ich also frage, dann bin ich nicht zu einer Lösung gekommen!
> > Dann sei [mm]Y:=\{x\in X|x\notin S(x)\}[/mm]
> >
> > Da nach obigem S surjektiv sein müsste, (warum ist S
> > eigentlich surjektiv???)
>
> Überleg dir mal bei meiner Veränderung, warum sie surjektiv
> ist - aber das ist fast offensichtlich, da jedes Element in
> P(X) ja durch I eindeutig auf ein [m]x\in X[/m] abgebildet wird.
> Hochtrabener gilt ja: die Urbilder mittels [m]I^{-1}[/m] sind ja
> entweder die leere Menge oder eine einpunktige Menge. Das
> beschreibt auch quasi die Abbildung.
>
> > gäbe es [mm]x\in[/mm] X mit S(x)=Y (das
> > verstehe ich auch nicht!? müsste es nicht für
> jedes
> > Element y aus P(X) ein Element [mm]x\in[/mm] X geben, sodass
> S(x)=y
> > gilt?).
>
> Ja. Und: ja und? Wenn es für alle gilt, gilt es
> insbesondere für ein bestimmtes - das ist ja total banal.
> Ich sehe die Schwierigkeit nicht.
Aber da steht ja: "gäbe es [mm] x\in [/mm] X" und ich sage [mm] "x\in [/mm] P(X)" - das ist doch ein Unterschied, und das verstehe ich nicht!
> > Falls [mm]x\in[/mm] Y, so gilt per Definition [mm]x\notin[/mm] S(x),
> > Widerspruch. Falls aber [mm]x\notin[/mm] Y, so gilt per Definition
> > (welche Definition ist hier gemeint?)
>
> die von Y latürnlich.
Aber wenn [mm] x\notin [/mm] Y ist, wo ist es denn dann? Ah - ich sehe glaube ich gerade: dann liegt x in [mm] X\backslash [/mm] Y, also eben in x aber nicht in [mm] \neg [/mm] S also wiederum in S!?
Aber ich habe gerade noch ein anderes Problem: wodurch entsteht im ersten Fall der Widerspruch?
> > [mm]x\in[/mm] S(x)=Y (und
> > wieso ist S(x)=Y???), Widerspruch.
>
> Vorraussetzung!
Mmh - aber aber es ist doch nur das Minum der Y's. Wieso kann ich denn dann S(x)=Y schreiben?
> > Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen, es wäre allerdings
> > etwas dringend... (also so morgen früh...)
>
> Wieso dringend? Für ein Übungsblatt? Musst du das
> vorrechnen?
Ja und ja. Aber wohl nicht so, wie du denkst - ich muss es nämlich als Tutor vorrechnen, und da würde ich es schon gerne vernünftig erklären können...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Di 29.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Was weiß denn ich, was das min bedeuten soll
Du bist als Tutor doch näher an der Vorlesung dran? Schonmal den Assistenten gefragt oder so? Gibt es ein Skript? Hast du darauf Zugriff? Ich finde "was ist min?" eine legitime Rückfrage ... vor allem wenn du Tutor bist. Könnte ja jemand anderes auch fragen.
> - sagte ich
> nicht, dass das die Musterlösung sei?
Deswegen kann ja trotzdem eine Bezeichnung non-standard sein. Ich wusste halt nicht, was min bedeuten soll ... Oder sie kann falsch sein. Oder oder.
> Da mache ich mir
> keine Gedanken drüber, ob man das noch anders machen kann,
hmm, also ich löse (als Tutor/Korrketor) die Aufgaben erstmal alleine - bzw. versuche es. IIrc machen das alle Turoen/Korrketoren die ich kenne. Und hier an der LMU kriegt man ja auch Geld zum Vorbereiten - also quasi zum Lösen. Das ist vor allem wichtig, um nicht a) voreingenommen zu sein, b) vielleicht Schwierigkeiten zu sehen. Aber wenn's man nicht rauskriegt, ist das schon die bessere Methode
> sondern versuche erstmal, es überhaupt zu verstehen! (Aber
> jetzt sehe ich auch, dass das ja eigentlich Blödsinn ist -
> werde mal nachfragen...)
*shrug*
> Und was meinst du mit "die Definition ist eindeutig"? Wie
> könnte sie denn nicht eindeutig sein? Irgendwie habe ich
> wohl wieder ein Brett vorm Kopf...
Im folgendne Sinne: die Y, auf die abgebildet wird, sind eindeutig - man hat keine Wahl. Bei nicht injektiven I köntne man ja nach obiger Vorschrift mehrere finden, aber hier hat man keine Wahl.
> > > Wenn es eine Injektion gäbe, warum gäbe es dann auch eine
> > > Surjektion? (Evtl. ist das nur ein einfacher
> > Zusammenhang
> > > aus der linearen Algebra, aber ich sehe es gerade
> > irgendwie
> > > nicht...)
> >
> > Einfacher Zusammenhang: ja. Aber mit Algebra hat es weniger
> > zu tun. Warum es so eine gibt? Naja, sie wurde gerade
> > konstruiert ... warum das surjektiv ist, solltest du dir
> > selbst überlegen, aber siehe unten.
>
> Übrigens überlege ich mir bei so etwas immer zuerst, wie es
> denn sein könnte, bevor ich nachfrage. Wenn ich also frage,
> dann bin ich nicht zu einer Lösung gekommen!
Ich habe ja auch die Lösung hingeschrieben ... du hast hier ja nicht gefragt, warum S surjektiv ist, sondern warum es denn eine surjektive Abbildung geben muss. Und ich dachte: du hast blos übersehn, dass diese gerade konstruiert wurde. Und mehr ist wirklich nicht aus dem obigen zu entnehmen.
> > Ja. Und: ja und? Wenn es für alle gilt, gilt es
> > insbesondere für ein bestimmtes - das ist ja total banal.
> > Ich sehe die Schwierigkeit nicht.
>
> Aber da steht ja: "gäbe es [mm]x\in[/mm] X" und ich sage [mm]"x\in[/mm] P(X)"
> - das ist doch ein Unterschied, und das verstehe ich nicht!
[m]S:X\to P(X)[/m]. Das ist die angebliche Surjektion. Hier wurde ein [m]Y\in P(X)[/m] und ein zugehöriges [m]x\in X, S(x)=Y[/m] konstruiert. Das zweite kann man machen, da S surjektiv ist.
> Aber wenn [mm]x\notin[/mm] Y ist, wo ist es denn dann? Ah - ich sehe
> glaube ich gerade: dann liegt x in [mm]X\backslash[/mm] Y, also eben
> in x aber nicht in [mm]\neg[/mm] S also wiederum in S!?
Bitte was? Sthet da was wie [m]x\in x[/m]? S ist ja ne Funktion, also wohl "in S liegen" etwas komisch (vor allem vom naiven Standpunkt aus.)
> Aber ich habe gerade noch ein anderes Problem: wodurch
> entsteht im ersten Fall der Widerspruch?
Insgesamt steht folgendes da: [m]x\in Y \gdw x \not\in Y [/m]. einmal links nach rechts, einmal andersrum. Das ist auch etwas schwer zu erklären, wenn man das das erste mal sieht, ist man wg. der Argumentation etwas verwirrt. Es muss hier imo einfach mal kilck machen.
> > > [mm]x\in[/mm] S(x)=Y (und
> > > wieso ist S(x)=Y???), Widerspruch.
> >
> > Vorraussetzung!
>
> Mmh - aber aber es ist doch nur das Minum der Y's. Wieso
> kann ich denn dann S(x)=Y schreiben?
Ich habe frecherweise meine Definition dafür benutzt, um den Gedanken zu ende zu führen. Das macht Sinn (und macht man auch so in anderen Büchern, Königsberger, Buch der Beweise, etc pp). Was das Minimum da soll, ist mir nicht erklärlich.
> > Wieso dringend? Für ein Übungsblatt? Musst du das
> > vorrechnen?
>
> Ja und ja. Aber wohl nicht so, wie du denkst -
Du wirst es nicht glauben - genauso, wie ich es dachte. (Denn: diese Aufgabe ist eine imo typische Standardaufgabe - ab dem 2. Semster sollte man wissen, das X und seine Potenzmenge unterschiedliche Mächtigkeit haben - und was mit meiner Veränderung in der Definition da steht ist der Standardbeweis. Im Übrigien geht so auch Russel's Antomie. Eigentlich auch Überabzählbarkeit der rellen Zahlen mit Cantors Diagonalbeweis)
> ich muss es
> nämlich als Tutor vorrechnen, und da würde ich es schon
> gerne vernünftig erklären können...
Sicher. Erklären uns Verstehen. Aber niemand ist perfekt (ich kam auch mal bei eins zwei Fragen ins Rudern, vornehmlich: warum ist der Modus Ponens so definiert, wie er definiert ist?
SEcki
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