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Hallo, habe hier eine Frage, die ich etwas unverständlich finde:
Auf der Potenzmenge P(M) einer Menge M werden durch [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] zwei (assoziative) Verknüpfungen definiert,
a) Bestimmen Sie für diese Verknüpfungen jeweils ein neutrales Element (falls es existiert).
b) Welche Elemente von P(M) haben ein inverses Element bezüglich [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup?
[/mm]
Ich weiß doch gar nicht, was für Elemente in P(M) sind? Es kann doch nur [mm] \emptyset [/mm] oder M selber darin sein. Wir wissen doch gar nich, ob M selbst leer ist oder Teilmengen hat? Kann mir da jemand helfen?#
Danke mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 22.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo, habe hier eine Frage, die ich etwas unverständlich
> finde:
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> Auf der Potenzmenge P(M) einer Menge M werden durch [mm]\cap[/mm]
> und [mm]\cup[/mm] zwei (assoziative) Verknüpfungen definiert,
>
> a) Bestimmen Sie für diese Verknüpfungen jeweils ein
> neutrales Element (falls es existiert).
>
> b) Welche Elemente von P(M) haben ein inverses Element
> bezüglich [mm]\cap[/mm] und [mm]\cup?[/mm]
>
> Ich weiß doch gar nicht, was für Elemente in P(M) sind? Es
> kann doch nur [mm]\emptyset[/mm] oder M selber darin sein. Wir
> wissen doch gar nich, ob M selbst leer ist oder Teilmengen
> hat? Kann mir da jemand helfen?#
> Danke mathmetzsch
Also die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge alle möglichen Teilmengen von M. Ich geb dir mal ein Beispiel:
M := {1,2,3}
P(M) = [mm] $\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$
[/mm]
Die Verknüpfungen Durchschnitt und Vereinigung sind dir bekannt, oder?
zu a) Was macht denn ein neutrales Element? Nun wenn ich ein Element mit dem neutralen Element verknüpfe kommt wieder das gleiche Element heraus: $a [mm] \circ [/mm] e = a$, und zwar für jedes a.
Jetzt in unserem Beispiel übersetzt heißt das: Wenn ich eine beliebige Menge mit dieser Menge vereinige, dann kommt wieder die gleiche Menge heraus, die ich vorher schon hatte.
Also wenn A,E Teilmengen von M sind, und damit A,E [mm] $\in$ [/mm] P(M), dann soll für E gelten:
$A [mm] \cup [/mm] E = A$ für jedes A. Welches E kommt denn dafür in Frage?
Nunja, E = [mm] $\emptyset$, [/mm] oder?
Genauso musst du dir das beim Durchschnitt überlegen. Welche Menge erfüllt hier
$A [mm] \cap [/mm] E = A$ für jedes A? Ich denke hier an E = M, wie siehst du das?
zu b) Was haben inverse Elemente für Eigenschaften? Nun wenn ich die Verknüpfung zwischen a und dem Inversen von a bilde, kommt wieder das neutrale Element heraus: $ a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = e$
In unserem Beispiel wieder:
$A [mm] \cup A^{-1} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ... Hmm da hast nur [mm] $\emptyset$ [/mm] sich selbst als Inverses, für alle anderen existiert es nicht, oder?
und
$A [mm] \cap A^{-1} [/mm] = M $ Da hat auch nur M sich selbst als Inverses, oder?
Gruß Micha 
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Hallo, danke für deine Antwort.
im Falle a), gilt da nicht aber auch E=A. Denn, wenn ich A mit sich selbst vereinige kommt doch sicher wieder A heraus, oder? Das müsste ja dann aber auch für alle Teilmengen von A gelten?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 22.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo, danke für deine Antwort.
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> im Falle a), gilt da nicht aber auch E=A. Denn, wenn ich A
> mit sich selbst vereinige kommt doch sicher wieder A
> heraus, oder? Das müsste ja dann aber auch für alle
> Teilmengen von A gelten?
Es müsste neutrales Element für jede Teilmenge von M sein. Nehme ich nur mal die leere Menge, so gilt dies schon nicht.
Es kommt also wirklich nur die leere Menge als neutrales Element in Frage.
Gruß Micha
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