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| Aufgabe | Seien A, B Teilmengen von C. Zeigen Sie
a) {K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : B [mm] \subseteq [/mm] K} [mm] \subseteq [/mm] {K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : A [mm] \subseteq [/mm] K} [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B
b) {K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : B [mm] \subseteq [/mm] K} [mm] \cap [/mm] {K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : A [mm] \subseteq [/mm] K} = {K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] K} |
Ich habe null Ansatz, wie ich das zeigen soll. Ich weiß ja, dass die Potenzmenge von C eine Zusammenfassung der leeren Menge, der Menge A, der Menge B und so weiter ist.
Aber wie zeige ich die Implikation bei A beziehungsweise die Gleichheit bei b?
Mir steht da zu viel drumherum, was mich verwirrt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
zur a): Das, was du zeigen möchtest (also [mm] $A\subseteq [/mm] B$), ist gleichbedeutend mit
[mm] $B\in\{K\in\mathcal{P}(C)\;|\;A\subseteq K\}$.
[/mm]
Genügt das schon als Hinweis?
zur b): Lass dich von den vielen Zeichen nicht "erschlagen".
Zu zeigen ist die Gleichheit zweier Mengen (nennen wir sie mal M und N).
Die Gleichheit zweier Mengen M und N zeigt man meist, indem man nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ zeigt.
Und wie zeigt man typischerweise eine Teilmengenbeziehung wie [mm] $M\subseteq [/mm] N$?
Man nimmt ein nicht weiter eingegrenztes Element [mm] $K\in [/mm] M$ und zeigt [mm] $K\in [/mm] N$.
(Falls dir irgendetwas bis hierhin unbekannt vorkommt, frag bitte nach. Dann begründe ich das näher.)
[mm] $K\in [/mm] M$ heißt in unserem Fall...
[mm] $K\in [/mm] N$ heißt in unserem Fall...
Viele Grüße
Tobias
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Könntest du bitte noch etwas prezieser werden. =)
Das wäre zu nett. Das mit der Gleichheit hab ich verstanden.
Aber ich hab ebn bei beiden Probleme einen Ansatz zu finden. Also wenn du mir könntest einen genauen Ansatz hinschreiben, dann würd ich probieren weiter zu rechnen bzw. zu zeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Zu a):
Wie ich als Hinweis gab, ist
[mm] $B\in\{K \in \mathcal{P} (C) : A \subseteq K\}$
[/mm]
zu zeigen. Wegen
[mm] $\{K \in \mathcal{P} (C) : B \subseteq K\}\subseteq\{K \in \mathcal{P} (C) : A \subseteq K\}$
[/mm]
genügt es, sich
[mm] $B\in\{K \in \mathcal{P} (C) : B \subseteq K\}$
[/mm]
klarzumachen.
Tue dies und frage bitte nach, wenn Teile (welche?) meiner Überlegungen unklar sind.
Zu b):
[mm] $M:=\{K \in \mathcal{P} (C) : B \subseteq K\} \cap \{K \in \mathcal{P} (C) : A \subseteq K\}$
[/mm]
[mm] $N:=\{K \in \mathcal{P} (C) : A \cup B \subseteq K\}$
[/mm]
Zu zeigen ist $M=N$, d.h.
1. [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und
2. [mm] $N\subseteq [/mm] M$.
Zu 1.:
Sei [mm] $K_0\in [/mm] M$, d.h. [mm] $K_0\in \{K \in \mathcal{P} (C) : B \subseteq K\}$ [/mm] und [mm] $\{K \in \mathcal{P} (C) : A \subseteq K\}$, [/mm] also
[mm] (*)$K_0\in\mathcal{P}(C)$,
[/mm]
(**) [mm] $B\subseteq K_0$ [/mm] und
(***) [mm] $A\subseteq K_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $K_0\in [/mm] N$, d.h.
(i) [mm] $K_0\in\mathcal{P}(C)$ [/mm] und
(ii) [mm] $A\cup B\subseteq K_0$.
[/mm]
(i) ist nichts anderes als (*).
zu (ii): (Wieder ist eine Teilmengenbeziehung zu zeigen. Standardvorgehen:)
Sei [mm] $c\in A\cup [/mm] B$. Zu zeigen ist [mm] $c\in K_0$.
[/mm]
[mm] $c\in A\cup [/mm] B$ bedeutet [mm] $c\in [/mm] A$ oder [mm] $c\in [/mm] B$.
Im ersteren Fall [mm] $c\in [/mm] A$ folgt aus (***), dass [mm] $c\in K_0$ [/mm] wie gewünscht.
Im anderen Fall [mm] $c\in [/mm] B$ folgt aus (**) , dass [mm] $c\in K_0$ [/mm] wie gewünscht.
Soweit zu 1. Die andere Teilmengenbeziehung 2. zu versuchen, überlasse ich dir.
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| Aufgabe | Also Sei K(null) [mm] \in [/mm] N, dh. K(null) [mm] \in [/mm] { K [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C) : A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] K} , also
*) K(null) [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C)
**) A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] K(null)
Zu zeigen: K(null) [mm] \in [/mm] M
i) K(null) [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (C)
ii) B [mm] \subseteq [/mm] K(null)
iii) A [mm] \subseteq [/mm] K(null)
i gleich *
und zu ii und iii bräuchte ich deine hilfe. |
Bitte =)
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| Aufgabe | Eigentlich heißt ja c [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B , dass c [mm] \in [/mm] A oder c [mm] \in [/mm] B und das ist ja wiederum eine Teilmenge von K(null)
und für iii) ist das ganze ja analog. =) |
OK?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Eigentlich heißt ja c [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] B , dass c [mm]\in[/mm] A oder c
> [mm]\in[/mm] B und das ist ja wiederum eine Teilmenge von K(null)
Ja. Also wegen [mm] $c\in [/mm] B$ auch [mm] $c\in A\cup [/mm] B$ und daher wegen **) wie gewünscht [mm] $c\in K_0$.
[/mm]
> und für iii) ist das ganze ja analog. =)
Genau.
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Mengendiagramm