Potenzmengen beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Fr 28.10.2005 | | Autor: | dobermnn |
Hallo Leute,
ich habe soeben ein Iformatikstudium angefangen und soll u.a. folgende frage lösen. da ich seit 12 Jahren kein Mathe mehr gehabt habe fällt es mir besonders schwer. Bitte helft mir !!!! Leider fehlt mir jeglicher Ansatz.
Aufgabe:
Finden und beweisen Sie ( z.B. mittels Vollst. Induktion ) eine Formel zur Bestimmung der Anzahl der Elemente der Potenz- menge P (M) einer Menge M mit n Elementen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo Leute,
> ich habe soeben ein Iformatikstudium angefangen und soll
> u.a. folgende frage lösen. da ich seit 12 Jahren kein Mathe
> mehr gehabt habe fällt es mir besonders schwer.
Hallo,
nur Mut!
Ich war 20 Jahre draußen und arbeite mich allmählich wieder ein. Es geht!
Bitte helft
> mir !!!! Leider fehlt mir jeglicher Ansatz.
>
> Aufgabe:
> Finden und beweisen Sie ( z.B. mittels Vollst. Induktion
> ) eine Formel zur Bestimmung der Anzahl der Elemente
> der Potenz- menge P (M) einer Menge M mit n
> Elementen.
Dazu muß man erstmal natürlich wissen, was die Potenzmenge einer Menge M ist: es ist die Menge, die alle ihre Teilmengen enthält.
Also ist in der Potenzmenge stets die leere Menge und die Menge M selbst enthalten.
Jetzt würde ich mal empirisch an die sache herangehen.
Die Menge M habe ein Element, also M={a}.
Dann haben wir als Teilmengen [mm] \emptyset [/mm] und M.
Also ist P(M)={ [mm] \emptyset [/mm] , {a}}
und |P(M)|=2
Nehmen wir jetzt zwei Elemente, M={a,b}
Die Teilmengen: [mm] \emptyset, [/mm] {a}, {b}, M
Also P(M)={ [mm] \emptyset, [/mm] {a}, {b}, {a,b}}
Und [mm] |P(M)|=4=2^2
[/mm]
Wenn Du so weitermachst, wirst Du bald eine Vermutung über den Zusammenhang von n=|M| und |P(M)| haben.
Stufe 2 wäre dann der Beweis der Vermutung.
Vollständige Induktion wurde gewiß besprochen.
Versuch Dich erstmal dran, wenn Du nicht weiterkommst, hilft Dir gewiß jemand.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Sa 29.10.2005 | | Autor: | dobermnn |
Danke für die schnelle Antwort.
Genau diesen Ansatz habe ich mir auch schon überlegt, aber beim Beweis mittels vollständiger Ind. klemmt es.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?!
Danke im Voraus
> > Hallo Leute,
> > ich habe soeben ein Iformatikstudium angefangen und
> soll
> > u.a. folgende frage lösen. da ich seit 12 Jahren kein Mathe
> > mehr gehabt habe fällt es mir besonders schwer.
>
> Hallo,
> nur Mut!
> Ich war 20 Jahre draußen und arbeite mich allmählich wieder
> ein. Es geht!
>
>
> Bitte helft
> > mir !!!! Leider fehlt mir jeglicher Ansatz.
> >
> > Aufgabe:
> > Finden und beweisen Sie ( z.B. mittels Vollst.
> Induktion
> > ) eine Formel zur Bestimmung der Anzahl der Elemente
> > der Potenz- menge P (M) einer Menge M mit n
> > Elementen.
>
> Dazu muß man erstmal natürlich wissen, was die Potenzmenge
> einer Menge M ist: es ist die Menge, die alle ihre
> Teilmengen enthält.
>
> Also ist in der Potenzmenge stets die leere Menge und die
> Menge M selbst enthalten.
>
> Jetzt würde ich mal empirisch an die sache herangehen.
>
> Die Menge M habe ein Element, also M={a}.
> Dann haben wir als Teilmengen [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und M.
> Also ist P(M)={ [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, {a}}
> und |P(M)|=2
>
> Nehmen wir jetzt zwei Elemente, M={a,b}
> Die Teilmengen: [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a}, {b}, M
> Also P(M)={ [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a}, {b}, {a,b}}
> Und [mm]|P(M)|=4=2^2[/mm]
>
> Wenn Du so weitermachst, wirst Du bald eine Vermutung über
> den Zusammenhang von n=|M| und |P(M)| haben.
>
> Stufe 2 wäre dann der Beweis der Vermutung.
> Vollständige Induktion wurde gewiß besprochen.
> Versuch Dich erstmal dran, wenn Du nicht weiterkommst,
> hilft Dir gewiß jemand.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Sa 29.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Genau diesen Ansatz habe ich mir auch schon überlegt, aber
> beim Beweis mittels vollständiger Ind. klemmt es.
> Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?!
Wo klemmt es? Was sind deine bisherigen Ansätze? Da du ja schon was hast, bitte poste es - so kann man dir helfen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Sa 29.10.2005 | | Autor: | dobermnn |
ich bin quasi auf [mm] 2^{n} [/mm] gekommen. Der Nachfolger wird ja mit n+1 dargestellt. Ich kann den Ausdruck aber nicht so darstellen, dass etwas vernüftiges rauskommt.
|
|
|
| |
|
> ich bin quasi auf [mm]2^{n}[/mm] gekommen.
Prima!
Dann formulieren wir mal die Behauptung.
Sei [mm] M_n [/mm] eine Menge mit [mm] |M_n|=n, [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei [mm] P(M_n) [/mm] ihre Potenzmenge.
Dann [mm] |P(M_n)|=2^n
[/mm]
Jetzt kommt der Induktionsanfang. Da mußt Du zeigen, daß die Behauptung für n=1 gilt.
(Das ist erstens einfach, und zweitens haben wir das ja schon getan.)
Nun der Induktionsschluß. Es ist unter der Voraussetzung, daß die Behauptung für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, zu zeigen :sie gilt auch für n+1.
Der Anfang des Induktionsschlusses wäre also
"Sei [mm] M_{n+1} [/mm] eine Menge mit |M{n+1}|=n+1."
Nun mußt Du plausibel machen, warum sich die Mächtigkeit der Potenzmenge von [mm] M_{n+1} [/mm] gegenüber der von [mm] M_{n} [/mm] verdoppelt.
Deine n+1 elementige Menge ist ja eine n-elementige Menge, "vermehrt" um ein Element. Natürlich umfaßt die Potenzmenge alle Elemente der Potenzmenge der "kleineren" Menge, zuzüglich ...
Denk mal in diese Richtung weiter. Vielleicht schaust Du Dir auch nochmal an, wie man aus der Potenzmenge der 3-elementigen Menge die der 4-elementigen Menge bekommt. So etwas inspiriert mitunter ungemein.
Viel Erfolg,
Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Sa 29.10.2005 | | Autor: | dobermnn |
DANKE!!!!!
|
|
|
|
