Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Di 30.05.2006 | | Autor: | fips |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für Re z >1 durch [mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{z}} [/mm] eine holomorphe Funktion gegeben ist und geben Sie eine Reihendarstellung für f'(z) an. |
Habe schon ziemlich lange herumgetüftelt und mit dem Potenzreihenentwicklungssatz herumexperimentiert, doch komme ich nicht wirklich auf einen brauchbaren Ansatz.
Genügt es zu zeigen dass die Potenzreihe konvergiert (um Holomorphie zu erhalten)?
habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo fips!
> Zeigen Sie, dass für Re z >1 durch
> [mm]f(z)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{z}}[/mm] eine
> holomorphe Funktion gegeben ist und geben Sie eine
> Reihendarstellung für f'(z) an.
> Habe schon ziemlich lange herumgetüftelt und mit dem
> Potenzreihenentwicklungssatz herumexperimentiert, doch
> komme ich nicht wirklich auf einen brauchbaren Ansatz.
> Genügt es zu zeigen dass die Potenzreihe konvergiert (um
> Holomorphie zu erhalten)?
Sie muss lokal gleichmaessig konvergieren. Aber fang doch erstmal an und zeige die absolute Konvergenz; dann bekommst du damit vielleicht eine Idee fuer die lokale gleichmaessige Konvergenz.
Dafuer schreib erstmal $z = x + i y$ mit $x > 1$: Dann ist [mm] $|n^z| [/mm] = [mm] |e^{z \ln n}| [/mm] = [mm] |e^{x \ln n} e^{i y \ln n}| [/mm] = [mm] |e^{x \ln n}| [/mm] = [mm] n^x$. [/mm] Und fuer $1 < x < y$ ist [mm] $\frac{1}{n^x} [/mm] > [mm] \frac{1}{n^y}$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$. Kannst du damit was anfangen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 02.06.2006 | | Autor: | fips |
Habe mittlerweile durch eine konvergente Majorante gezeigt, dass diese Summe auf jedem kompakten Bereich glm. konvergiert und somit laut dem weierstraßschen Konvergenzsatz holomorph ist.
Jetzt noch zur Frage wegen der Reihendarstellung von f´(z):
reicht es zu sagen:
[mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{z}}=\summe_{n=1}^{\infty}e^{-zln(n)}\Rightarrow f'(z)=\summe_{n=1}^{\infty}-ln(n)e^{-zln(n)}
[/mm]
oder steckt da noch mehr dahinter?
lg philipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Philipp!
> Habe mittlerweile durch eine konvergente Majorante gezeigt,
> dass diese Summe auf jedem kompakten Bereich glm.
> konvergiert und somit laut dem weierstraßschen
> Konvergenzsatz holomorph ist.
>
> Jetzt noch zur Frage wegen der Reihendarstellung von
> f´(z):
>
> reicht es zu sagen:
>
> [mm]f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{z}}=\summe_{n=1}^{\infty}e^{-zln(n)}\Rightarrow f'(z)=\summe_{n=1}^{\infty}-ln(n)e^{-zln(n)}[/mm]
Da die Reihe kompakt lokal gleichmaessig konvergierst, darfst du gliedweise Differenzieren und die Reihe, die du erhaelst, konvergiert weiterhin lokal gleichmaessig. Insofern: Ja.
(Du kannst das [mm] $-\ln(n) e^{-z\ln(n)}$ [/mm] hinten auch wieder als [mm] $-\frac{\ln n}{n^z}$ [/mm] schreiben.)
> oder steckt da noch mehr dahinter?
Ich wuerde sagen nein.
LG Felix
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