Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mo 20.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Die Funktion y sei durch das Anfangswertproblem
y'+2y=7 mit y'_{(0)}=3 gegeben.
Geben sie die ersten drei nichtverschwindenden Glieder einer Reihenentwicklung für y an. |
Hallo,
ich weiß bei obiger Aufgabe nicht so recht wie ich anfangen soll. Es wäre super, wenn mir jemand einen Tipp oder kleinen Hinweis geben könnte. Danke!!!
LG
Stefan
|
|
| |
|
Hallo!
Du kannst jede Funktion als Taylorreihe schreiben, bei Entwicklung um x=0 ist das vereinfacht:
[mm] $y(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...$
[/mm]
Das kannst du ja auch einfach ableiten.
Nun stellst du die DGL z.B. nach y um, und setzt anschließend diese beiden Reihen ein.
Dann schaust du dir die Koeffizienten vor den einzelnen [mm] x^i [/mm] an, und bekommst dadurch z.B. sowas wie [mm] a_3=a_1+2*a_2 [/mm] heraus (Das ist nur ein Beispiel). Das heißt, die höheren Koeffizienten lassen sich durch die niedrigeren ausdrücken. Natürlich wirst du dann bei den niedrigsten Koeffizienten früher oder später welche haben, die du NICHT durch kleinere aufspalten kannst. Das sind dann die freien Parameter.
Sooo, wenn du das verstanden hast, kannst (solltest) du versuchen, das ganze etwas allgemeiner zu machen, also mittels
[mm] $y(x)=\summe_{i=0}^\infty a_ix^i$
[/mm]
Damit bekommst du eine allgemein gültige Vorschrift, wie sich ein [mm] a_i [/mm] rekursiv berechnen läßt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mo 20.08.2007 | | Autor: | polyurie |
OK Danke, hat ne Weile gedauert aber ich habs kapiert. Danke!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 20.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Du kannst jede Funktion als Taylorreihe schreiben,
Das stimmt nicht. Gegenbespiele sind so einfache Funktionen wie [mm]\sqrt{x}[/mm] oder [mm]\bruch{1}{x}[/mm], die beide nicht in eine Taylorreihe um [mm]x=0[/mm] entwickelt werden können.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Moment, ich habe nicht gesagt, daß man jede Funktion um x=0 entwickeln kann. (Andererseits ist meine Aussage mit dem x=0 nicht nötig, denn das sieht immer so aus, egal, worum man entwickelt...)
Allerdings gibt es sicher Funktionen, die man generell nicht entwickeln kann, z.B. welche, die nur für einzelne Punke etc definiert sind, oder z.B.
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \end{cases}
[/mm]
|
|
|
|
