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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n*n!}{n^n} [/mm] |
Den Konvergenzradius zu prüfen habe ich glaube ich selbst hingekriegt allerdings verstehe ich noch nicht so ganz wie man das Verhalten in den Randpunkten prüft:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n*n!}{n^n}
[/mm]
[mm] a_n=\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
[mm] a_n+1=\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\bruch{n!*(n+1)}{(n+1)^n*(n+1)}
[/mm]
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!*(n+1)^n*(n+1)}{n^n*n!*(n+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^n*(1+\bruch{1}{n})^n}{n^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
=e
Dann gilt ja für x=|e|
Ich habe jetzt mit dem Taschenrechner für n=1 bis n=3 jeweils e und -e eingesetzt und bekomme folgende Werte:
für e
n=1 : 2,72
n=2 : 3,69
n=3 : 4,46
für -e
n=1 : -2,71
n=2 : 3,69
n=3 : -4,46
Ich würde jetzt einfach mal behaupten, dass die Reihe für die Randpunkte divergiert nur muss ich das doch auch irgendwie anders als durch eine Wertetabelle prüfen können oder?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende
> Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n*n!}{n^n}[/mm]
> Den Konvergenzradius zu prüfen habe ich glaube ich selbst
> hingekriegt
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, das hast du!
> allerdings verstehe ich noch nicht so ganz wie
> man das Verhalten in den Randpunkten prüft:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n*n!}{n^n}[/mm]
>
> [mm]a_n=\bruch{n!}{n^n}[/mm]
>
> [mm]a_n+1=\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\bruch{n!*(n+1)}{(n+1)^n*(n+1)}[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!*(n+1)^n*(n+1)}{n^n*n!*(n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^n}{n^n}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^n*(1+\bruch{1}{n})^n}{n^n}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> =e ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann gilt ja für x=|e|
Was meinst du? Konvergenz für $|x|<e$
>
> Ich habe jetzt mit dem Taschenrechner für n=1 bis n=3
> jeweils e und -e eingesetzt und bekomme folgende Werte:
>
> für e
> n=1 : 2,72
> n=2 : 3,69
> n=3 : 4,46
>
> für -e
> n=1 : -2,71
> n=2 : 3,69
> n=3 : -4,46
>
> Ich würde jetzt einfach mal behaupten, dass die Reihe für
> die Randpunkte divergiert nur muss ich das doch auch
> irgendwie anders als durch eine Wertetabelle prüfen können
> oder?
Auf Konvergenz an den Randpunkten $x=e$ und $x=-e$ kannst du durch Einsetzen in die Reihe mit den "normalen" Konvergenzkriterien prüfen:
(1) für $x=e$ hast du [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{e^n\cdot{}n!}{n^n}$
[/mm]
(2) für $x=-e$ hast du [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-e)^n\cdot{}n!}{n^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{e^n\cdot{}n!}{n^n}$
[/mm]
Die gehe mal mit den üblichen Kriterien an ...
LG
schachuzipus
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
> Hallo tedd,
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> Was meinst du? Konvergenz für [mm]|x|
Stimmt! War ein naja sagen wir ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits:)
> Auf Konvergenz an den Randpunkten [mm]x=e[/mm] und [mm]x=-e[/mm] kannst du
> durch Einsetzen in die Reihe mit den "normalen"
> Konvergenzkriterien prüfen:
>
> (1) für [mm]x=e[/mm] hast du
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{e^n\cdot{}n!}{n^n}[/mm]
>
> (2) für [mm]x=-e[/mm] hast du
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-e)^n\cdot{}n!}{n^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{e^n\cdot{}n!}{n^n}[/mm]
Hm mit dem Quotientenkriterium kriege ich für beide 1 raus also kann ich keine Aussage über Konvergenz der Reihe machen. Ich hab jetzt noch nie das Majorantenkriterium benutzt und ich wüsste in diesem Fall auch nicht wie es geht, vielleicht ist es ja auch nicht notwendig?
naja zum QK:
Zu (1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n+1}{a_n}\right|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^n*e*n!*(n+1)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*e^n*n!}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e*n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e*n^n}{n^n*(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e}{(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
=1
Zu (2) bekomme ich das gleiche Ergebnis durch die Betragsstriche.
> Die gehe mal mit den üblichen Kriterien an ...
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Danke und Gruß 
tedd
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Hi,
prüfe hier zuerst, ob die notwendige Bedingung, dass [mm] a_n \to [/mm] 0, n [mm] \to \infty [/mm] erfüllt ist.
Grüße Patrick
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Hallo tedd,
ein kleiner Tipp noch zur Überprüfung des Trivialkriteriums:
Benutze mal die Sterling-Formel für $n!$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
Klar,
also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^n*n!}{n^n}
[/mm]
wüsste jetzt nicht wie ich das umformen kann aber würd spontan sagen, dass das gegen [mm] \infty [/mm] geht was ja heissen würde , dass die Reihe divergent ist.
aber ich kann ja schlecht schreiben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^n*n!}{n^n}=\infty [/mm] oder etwa doch?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo nochmal,
da war ich etwas zu spät 
Benutze die Stirling Formel [mm] $n!\approx\sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
Hey,
das wird ja immer interessanter! :)
Cool!
also:
[mm] a_n=\bruch{e^n*n!}{n^n}
[/mm]
mit [mm] n!\approx\sqrt{2*\pi*n}*\left(\bruch{n}{e}\right)^n
[/mm]
[mm] a_n\approx\sqrt{2*\pi*n}*\bruch{e^n*\bruch{n^n}{e^n}}{n^n}
[/mm]
[mm] =\sqrt{2*\pi*n}*\bruch{e^n*n^n}{e^n*n^n}
[/mm]
[mm] =\sqrt{2*\pi*n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2*\pi*n}
[/mm]
[mm] =\infty
[/mm]
So richtig?
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
Sorry, bin etwas verwirrt deswegen noch die kleine Frage:
Die Reihe konvergiert aber tortzdem für
|x|<e oder?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Sorry, bin etwas verwirrt deswegen noch die kleine Frage:
> Die Reihe konvergiert aber tortzdem für
> |x|<e oder?
Aber klaro, diesen Konvergenzradius hast du doch ausgerechnet.
Es ist so:
Wenn du einen Konvergenzradius $r$ berechnet hast, weißt du damit, dass die Potenzreihe für $|x|<r$ konvergent ist und für $|x|>r$ divergent ist
$|x|<r$ bedeutet ja nichts anderes, als $-r<x<r$, also [mm] $x\in(-r,r)$ [/mm] (offenes Intervall)
Wie es mit den Intervallgrenzen, also für $|x|=r$, dh. $x=r$ und $x=-r$ aussieht, prüfst du wie im Bsp. separat
> Danke und Gruß,
> tedd
>
Bis dann
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
Cool danke!
Gruß,
tedd
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