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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 02.11.2008 | | Autor: | MissB. |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ln(n)}{\wurzel{n}}*x^n
[/mm]
Bestimme alle reellen Werte x, für die die Reihe konvergiert! |
Hallo zusammen,
ich habe hier mal eine Reihe, bei der ich nicht weiß, wie ich überhaupt anfangen soll... Der ln überfordert mich leicht. Quotientenkriterium bringt mich nicht wirklich weiter. Aber Wurzelkriterium machts auch nicht leichter.
Ich bin über jeden Tipp dankbar :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ln(n)}{\wurzel{n}}*x^n[/mm]
> Bestimme alle reellen Werte x, für die die Reihe
> konvergiert!
> Hallo zusammen,
> ich habe hier mal eine Reihe, bei der ich nicht weiß, wie
> ich überhaupt anfangen soll... Der ln überfordert mich
> leicht. Quotientenkriterium bringt mich nicht wirklich
> weiter. Aber Wurzelkriterium machts auch nicht leichter.
> Ich bin über jeden Tipp dankbar :)
Kennst du den Begriff des Konvergenzradius einer Potenzreihe und wie man ihn berechnet?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 02.11.2008 | | Autor: | MissB. |
> Hallo!
>
> Kennst du den Begriff des Konvergenzradius einer
> Potenzreihe und wie man ihn berechnet?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Ja, nur muss ich doch erst mal an den Punkt kommen, an dem ich dann n gegen unendlich laufen lassen kann, um dann zu bestimmen für welche Werte |x|<1 bzw. |x|>1 sind um Konvergenz bzw. Divergenz bestimmen zu können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 So 02.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ln(n)}{\wurzel{n}}*x^n[/mm]
> Bestimme alle reellen Werte x, für die die Reihe
> konvergiert!
> Hallo zusammen,
> ich habe hier mal eine Reihe, bei der ich nicht weiß, wie
> ich überhaupt anfangen soll... Der ln überfordert mich
> leicht. Quotientenkriterium bringt mich nicht wirklich
> weiter. Aber Wurzelkriterium machts auch nicht leichter.
> Ich bin über jeden Tipp dankbar :)
Rainer hat Dir ja schon einen Tipp gegeben. Wenn es unklar ist:
Du hast hier zunächst [mm] $$S:=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\bruch{\ln(n)}{\wurzel{n}}\right|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bruch{\ln(n)}{\wurzel{n}}}$$
[/mm]
zu berechnen.
(Der Konvergenzradius $R$ ist dann [mm] $R=\frac{1}{S}\,.$)
[/mm]
Hilfreich sollte dabei sein, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ (was bedeutet das für [mm] $\sqrt[n]{\sqrt{n}}$?). [/mm] Außerdem behaupte ich, dass [mm] $\sqrt[n]{\ln(n)} \to 1\,.$
[/mm]
Um letztgenanntes einzusehen: O.E. sei $n > 3 > [mm] e\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\ln(n) [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm] Daraus folgt für alle $n > [mm] 3\,:$
[/mm]
$$1 [mm] \le \sqrt[n]{\ln(n)} \le \sqrt[n]{n}\,.$$
[/mm]
Was weißt Du nun über den Konvergenzradius Deiner Reihe?
P.S.:
Die Fälle [mm] $x=\pm [/mm] 1$ musst Du natürlich noch separat betrachten.
Gruß,
Marcel
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