Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}(z+2)^n
[/mm]
Untersuchen Sie, ob die Reihe für z=i konvergiert. |
Hallo, ich bin soweit gekommen:
mit [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{3n+1}*\bruch{3n+3}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2+3n}{3n^2+3n+n+1}=\bruch{3}{3}=1
[/mm]
Reihe konvergiert für |z+2|<1.
Jetzt habe ich nach dem Einsetzen folgendes:
[mm] \bruch{n}{3n+1}(1)^n [/mm] und komme auf [mm] \bruch{1}{3} [/mm] als Ergebnis.
Was sagt mir dieses Ergebnis aus?
Irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, das ich etwas falsch mache.
Und wie kann ich die Untersuchung für z=i durchführen, das ist mir nicht ganz klar.
Danke
LG Lzaman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}(z+2)^n[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob die Reihe für z=i konvergiert.
> Hallo, ich bin soweit gekommen:
>
> mit [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{3n+1}*\bruch{3n+3}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2+3n}{3n^2+3n+n+1}=\bruch{3}{3}=1[/mm]
Der 2. Bruch muß [mm] \bruch{3n+4}{n+1} [/mm] lauten !
>
>
> Reihe konvergiert für |z+2|<1.
Das stimmt.
>
> Jetzt habe ich nach dem Einsetzen folgendes:
>
> [mm]\bruch{n}{3n+1}(1)^n[/mm] und komme auf [mm]\bruch{1}{3}[/mm] als
> Ergebnis.
Was Du da machst ist mir schleierhaft ! Setzt Du z=-1 ? Wenn ja, warum ?
>
> Was sagt mir dieses Ergebnis aus?
>
> Irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, das ich etwas
> falsch mache.
> Und wie kann ich die Untersuchung für z=i durchführen,
> das ist mir nicht ganz klar.
Dafür hast Du 2 Möglichkeiten:
1. Du weißt: die Potenzreihe divergiert für |z+2|>1. Berechne mal |i+2|
2. bearbeite die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}(i+2)^n [/mm] $ mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium
FRED
>
> Danke
>
> LG Lzaman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{3n+1}\cdot{}\bruch{3n+4}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2+4n}{3n^2+3n+n+1}=\bruch{3}{3}=1 [/mm] $
So für z=i kann ich nun den Betrag bestimmen [mm] \wurzel{2^2+1^2}=\wurzel{5}, [/mm] also [mm] \wurzel{5}>1 [/mm] deshalb divigiert die Reihe für z=i oder?
Ich habe nur noch Probleme mit der Randuntersuchung:
> Jetzt habe ich nach dem Einsetzen folgendes:
>
> $ [mm] \bruch{n}{3n+1}(1)^n [/mm] $ und komme auf $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ als
> Ergebnis.
>>Was Du da machst ist mir schleierhaft ! Setzt Du z=-1 ? Wenn ja, warum ?
Hier mache ich die Ranuntersuchung und setze [mm] \;(z+2)=1 [/mm] , also den Konvergenzradius.
Darf ich nun behaupten [mm] \bruch{1}{3}<1 [/mm] und deshalb konvergiert die Reihe [mm] |z+2|\red{\le}1 [/mm] ?
LG Lzaman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{3n+1}\cdot{}\bruch{3n+4}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3n^2+4n}{3n^2+3n+n+1}=\bruch{3}{3}=1[/mm]
>
>
> So für z=i kann ich nun den Betrag bestimmen
> [mm]\wurzel{2^2+1^2}=\wurzel{5},[/mm] also [mm]\wurzel{5}>1[/mm] deshalb
> divigiert die Reihe für z=i oder?
So ist es.
>
> Ich habe nur noch Probleme mit der Randuntersuchung:
>
> > Jetzt habe ich nach dem Einsetzen folgendes:
> >
> > [mm]\bruch{n}{3n+1}(1)^n[/mm] und komme auf [mm]\bruch{1}{3}[/mm] als
> > Ergebnis.
>
>
> >>Was Du da machst ist mir schleierhaft ! Setzt Du z=-1 ?
> Wenn ja, warum ?
>
> Hier mache ich die Ranuntersuchung und setze [mm]\;(z+2)=1[/mm] ,
> also den Konvergenzradius.
Zur Randuntersuchung gehört viel mehr ! Zu untersuchen sind alle Punkte z mit |z+2|=1,
also z.B. auch z=-3 oder z=-2+i oder ......................
>
> Darf ich nun behaupten [mm]\bruch{1}{3}<1[/mm] und deshalb
> konvergiert die Reihe [mm]|z+2|\red{\le}1[/mm] ?
Unfug!
Sei z [mm] \in \IC [/mm] und |z+2|=1, setze [mm] $a_n:= \bruch{n}{3n+1}*(z+2)^n$
[/mm]
Die Frage ist nun ob [mm] \sum a_n [/mm] konvergiert oder nicht. Tipp: ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ?
FRED
>
> LG Lzaman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ok, dann habe ich einen groben Fehler gemacht, könntet ihr mir helfen, dass dann aufzuarbeiten?
Ist dieser Ansatz erstmal korrekt? [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}(1)^n=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1} [/mm] ?
Wenn ich jetzt das Quotientenkriterium anwende erhalte ich eine 1. Keine Ahnung was ich hier machen soll....
LG Lzaman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann habe ich einen groben Fehler gemacht, könntet ihr
> mir helfen, dass dann aufzuarbeiten?
>
> Ist dieser Ansatz erstmal korrekt?
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}(1)^n=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1}[/mm]
> ?
>
> Wenn ich jetzt das Quotientenkriterium anwende erhalte ich
> eine 1. Keine Ahnung was ich hier machen soll....
Es gibt noch andere kriterien .....
z.B. ist $ [mm] \sum a_n [/mm] $ konvergent , so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge
Siehst Du nun, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{3n+1} [/mm] divergiert ?
Damit hast Du die Divergenz der obigen Potenzreihe im Punkt z=-1
Wie Du vorgehen sollst für Punkte z mit |z+2|=1 habe ich Dir doch schon gesagt.
FRED
>
> LG Lzaman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 28.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ich habe nochmal nachgeschaut und eine ähnliche Aufgabe, die wir gerechnet haben besagt:
Für [mm] |z+2|=1\; [/mm] divergiert die Reihe wegen [mm] |\bruch{n}{3n+1}\cdot{}(z+2)^n|=\bruch{1^n}{3n+1}=\bruch{1}{3n+1}.
[/mm]
Kovergenzpunkte sind also alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z+2|<1
ich hoffe die Aufgabe ist nun fertig, obwohl nach der Randuntersuchung gar nicht gefragt war.
LG Lzaman
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Hallo Izaman,
> Ich habe nochmal nachgeschaut und eine ähnliche Aufgabe,
> die wir gerechnet haben besagt:
>
> Für [mm]|z+2|=1\;[/mm] divergiert die Reihe wegen
> [mm]|\bruch{n}{3n+1}\cdot{}(z+2)^n|=\bruch{1^n}{3n+1}=\bruch{1}{3n+1}.[/mm]
Hier meinst Du wohl:
[mm]|\bruch{n}{3n+1}\cdot{}(z+2)^n|=\bruch{\blue{n}}{3n+1}\blue{\ge}\bruch{1}{3n+1}.[/mm]
>
> Kovergenzpunkte sind also alle [mm]z\in\IC[/mm] mit |z+2|<1
>
> ich hoffe die Aufgabe ist nun fertig, obwohl nach der
> Randuntersuchung gar nicht gefragt war.
Ja, die Aufgabe ist fertig.
>
> LG Lzaman
>
Gruss
MathePower
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