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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich hab folgende Potenzreihe gegeben und soll den Konvergenzbereich angbeben.Dazu benötige ich aber a und r
[mm] f(x)=\summe_{n=}^{\infty}\bruch{(3x+1)^n}{(2n)^2}
[/mm]
Wie bekomm ich nun am besten das a heraus.Ich habe es mal versucht aber ich weiß nicht genau wie ich im Zähler das x herauslösen soll
[mm] \bruch{}{(2n)^2}
[/mm]
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> Hallo,
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> Ich hab folgende Potenzreihe gegeben und soll den
> Konvergenzbereich angbeben.Dazu benötige ich aber a und r
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=}^{\infty}\bruch{(3x+1)^n}{(2n)^2}[/mm]
>
> Wie bekomm ich nun am besten das a heraus.Ich habe es mal
> versucht aber ich weiß nicht genau wie ich im Zähler das
> x herauslösen soll
>
Schreib den Zähler als [mm] (3(x+\frac{1}{3}))^n=3^n*(x+\frac{1}{3})^n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Also ist mein a = -1/3 ??
und mein [mm] an=3^n [/mm] oder?
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> Also ist mein a = -1/3 ??
>
ja
> und mein [mm]an=3^n[/mm] oder?
da kommt noch der Nenner dazu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Aja den habe ich vergessen gehabt
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Der Radius müsste dann 1/3 sein oder?
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> Der Radius müsste dann 1/3 sein oder?
stimmt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
wenn ich nun f'(x) haben möchte leite ich ja gliedweise ab nach n oder?
f'(x) müsste dann sein [mm] \bruch{n(3x+1)^{n-1}}{8n} [/mm] ??
weil bei meinen Bsp steht noch als Unterpunkt: Berechnen sie die Taylorreihe von f' und geben sie deren genauen Konvergenzbereich an
Eine Taylorreihe ist ja eine spezielle Potenzreihe aber wie wandelt man die am geschicktesten um bzw ist der Konvergenzbereich derselbe?
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> wenn ich nun f'(x) haben möchte leite ich ja gliedweise ab
> nach n oder?
>
Die Variable ist x. d.h. du leitest gliedweise nach x ab
> f'(x) müsste dann sein [mm]\bruch{n(3x+1)^{n-1}}{8n}[/mm] ??
Das stimmt so nicht. Der Nenner ist eine Konstante und im Zähler kommt noch der faktor 3 dazu..
>
> weil bei meinen Bsp steht noch als Unterpunkt: Berechnen
> sie die Taylorreihe von f' und geben sie deren genauen
> Konvergenzbereich an
>
> Eine Taylorreihe ist ja eine spezielle Potenzreihe aber wie
> wandelt man die am geschicktesten um bzw ist der
> Konvergenzbereich derselbe?
Der Konvergenzradius ist der gleiche wie bei der Originalreihe. Da aber nach dem genauen Konvergenzbereich gefragt ist, musst du auch die Punkte am Rand desselben betrachten. Und da kann das Konvergenzverhalten bei f und f' unterschiedlich sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
also is f'(x) [mm] \bruch{3n(3x+1)^{n-1}}{8n}
[/mm]
Die Potenzreihe für f' ist also [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{9n}{8n}*(x+1/3)^{n-1}
[/mm]
Aber wie wird nun aus der Potenzreihe die Taylorreihe?
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> also is f'(x) [mm]\bruch{3n(3x+1)^{n-1}}{8n}[/mm]
Im Nenner bleibt es bei [mm] (2n)^2=4n^2
[/mm]
>
> Die Potenzreihe für f' ist also
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{9n}{8n}*(x+1/3)^{n-1}[/mm]
das passt auch nicht, beim rausziehen aus der Klammer kommt [mm] 3^{n-1} [/mm] als Faktor und es geht bei n=1 los.
>
> Aber wie wird nun aus der Potenzreihe die Taylorreihe?
Das ist schon eine Taylorreihe. Du könntest jetzt noch eine Indexverschiebung k=n-1 betrachten, sodass du wieder Potenzen von k hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
so sollte es jetzt passen ,hoffe ich
Nur verstehe ich nicht warum es bei 1 beginnt,die ursprüngliche Reihe geht auch bei 2 los
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{3^nn}{4n^2}*(x+1/3)^{n-1}
[/mm]
ist diese Indexverschiebung notwendig um den Konvergenzbereich zu bestimmen??
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> so sollte es jetzt passen ,hoffe ich
>
> Nur verstehe ich nicht warum es bei 1 beginnt,die
> ursprüngliche Reihe geht auch bei 2 los
ok, dann hast du recht. Die untere Summationsgrenze hast du in deinem ersten Post unterschlagen und ich war einfach mal von 1 ausgegangen.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{3^nn}{4n^2}*(x+1/3)^{n-1}[/mm]
Passt, jetzt kannst du noch ein n kürzen.
>
> ist diese Indexverschiebung notwendig um den
> Konvergenzbereich zu bestimmen??
nein, nur um die "Standardform" einer Potenzreihe zu erhalten. Aber nötig ist das nicht wirklich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Okay .
Kann das sein,das dergleiche Konvergenzbereich wie bei der ursprüglichen Reihe herauskommt KB: (-2/3;0)
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> Okay .
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> Kann das sein,das dergleiche Konvergenzbereich wie bei der
> ursprüglichen Reihe herauskommt KB: (-2/3;0)
Wie schon weiter oben gesagt, bedürfen die Randpunkte x=-2/3 und x=0 einer gesonderten Betrachtung. Über Konvergenz an den Randpunkten sagt der Konvergenzradius nichts aus.
Das Intervall von -2/3 bis 0 ist schonmal ok, aber es muss nicht das offene Intervall sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Diese genau Überprüfung hab ich nie so ganz verstanden
Für den KB gilt (a-r);(a+r)
nun setz ich meine werte ein
Punkt 0 [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{3^n}{4n}*(1/3+0)^{n-1}
[/mm]
Punkt -2/3 [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{3^n}{4n}*(1/3-2/3)^{n-1}
[/mm]
Und was genau schau ich nun nach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst fesstellen. ob beide oder eine der Reihen konvergiert, dasselbe noch bei f(x)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mi 23.11.2011 | | Autor: | racy90 |
und wenn nun für f'(x) die Reihe für 0 divergent ist und für -2/3 konvergent .Was ändert sich nun am Konvergenzbereich : (-2/3;0)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> und wenn nun für f'(x) die Reihe für 0 divergent ist und
> für -2/3 konvergent .Was ändert sich nun am
> Konvergenzbereich : (-2/3;0)?
Dann ist der Konvergenzbereich
[-2/3;0)
FRED
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