Potenzreihe/Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 05.08.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n} [/mm] |
Hallo,
eigentlich habe ich diese Aufgabe schon gelöst. Mit dem Wurzelkriterium erhält man ja sehr schnell R=1/2
Jetzt wollte ich das ganze mal mit dem Quotientenkriterium nochmal ausprobieren. Leider krieg ich das nicht hin.
Ich habe folgenden Zwischenschritt:
(die Betragsstrichte hab ich jetzt weggelassen)
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(-1)^{n+1}(n+1)*2^{(n+1)}*(x-2)^{n+1}}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=\bruch{(-1)^n*(-1)*2^n*(n+1)*2(x-2)^n*(x-2)}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=(-1)*2^n*(x-2)^n*(x-2)
[/mm]
Da ich nicht weiterkomme vermute ich, dass ich ein Fehler gemacht habe.
Ich bitte um Tipps bzw. Korrektur.
Danke im Voraus
Lg Laura
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich habe ich diese Aufgabe schon gelöst. Mit dem
> Wurzelkriterium erhält man ja sehr schnell R=1/2
>
> Jetzt wollte ich das ganze mal mit dem Quotientenkriterium
> nochmal ausprobieren. Leider krieg ich das nicht hin.
> Ich habe folgenden Zwischenschritt:
>
> (die Betragsstrichte hab ich jetzt weggelassen)
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(-1)^{n+1}(n+1)*2^{(n+1)}*(x-2)^{n+1}}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=\bruch{(-1)^n*(-1)*2^n*(n+1)*2(x-2)^n*(x-2)}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=(-1)*2^n*(x-2)^n*(x-2)[/mm]
>
> Da ich nicht weiterkomme vermute ich, dass ich ein Fehler
> gemacht habe.
Der erste Fehler ist mal der, dass die Potenz [mm] (x-2)^n [/mm] selbst nicht Teil des Koeffizienten ist und deshalb in deiner Rechnung nichts zu suchen hat.
Der zweite Fehler ist, dass du das Quotientenkriterium genau falsch herum verwendet hast. Es ist
[mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Hier also
[mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n*2^n}{(n+1)*2^{n+1}}[/mm]
Das kannst du jetzt noch zu Ende rechnen, aber man sieht ja schon an dieser Stelle den von dir richtig berechneten Konvergenzradius von r=1/2.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 05.08.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Der erste Fehler ist mal der, dass die Potenz [mm](x-2)^n[/mm] selbst nicht Teil des Koeffizienten ist und deshalb in deiner Rechnung nichts zu suchen hat.
Klares jein!
Man kann ja auch das Quotientenkriterium für beliebige Reihen verwenden und dann nach x umstellen 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mo 05.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Gono,
danke für den Hinweis. Ich glaube, mein Hirn ist gerade im Urlaubsmodus. So wie von dir vorgeschlagen leitet man die Berechnung des Konvergenzradius per QK ja auch her...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mo 05.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich habe ich diese Aufgabe schon gelöst. Mit dem
> Wurzelkriterium erhält man ja sehr schnell R=1/2
>
> Jetzt wollte ich das ganze mal mit dem Quotientenkriterium
> nochmal ausprobieren. Leider krieg ich das nicht hin.
> Ich habe folgenden Zwischenschritt:
>
> (die Betragsstrichte hab ich jetzt weggelassen)
Mach das nie wieder ! Das kann tödlich enden !
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(-1)^{n+1}(n+1)*2^{(n+1)}*(x-2)^{n+1}}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=\bruch{(-1)^n*(-1)*2^n*(n+1)*2(x-2)^n*(x-2)}{(-1)^n*n*2^n*(x-2)^n}=(-1)*2^n*(x-2)^n*(x-2)[/mm]
Richtig kürzen ist eine hohe Kunst, die man als angehende Lehrerin beherrschen sollte.
Setzen wir [mm] a_n(x):= (-1)^n*n*2^n*(x-2)^n.
[/mm]
Dann ist (rechne es nach !)
[mm] $|\bruch{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}|=\bruch{n+1}{n}*2*|x-2| \to [/mm] 2*|x-2|$
Nach dem QK haben wir also Konvergenz , falls $2*|x-2|<1$ ist
FRED
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> Da ich nicht weiterkomme vermute ich, dass ich ein Fehler
> gemacht habe.
>
> Ich bitte um Tipps bzw. Korrektur.
> Danke im Voraus
>
> Lg Laura
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