Potenzreihe Rekurssionsformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | f:(-r,r) -> R, f(x) = [mm] \sum^\infty_{n=0} a_nx^n [/mm] für alle x (-r,r) sei eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und es gelte f(0) = 1 und f'(x) - 2xf(x)=0 Für alle x aus (-r,r), wobei r der Konvergenzradius ist,
Gesucht: Rekusrionsformel für die Koeffizienten [mm] a_n. [/mm] |
Hoi.
Ich denke, ich bin schon ziemlich weit damit und es ist nur noch einTrick den ich nicht kenne und mit dem ich mich deswegen wie immer schwer tue. Also bis jetzt habe ich gerechnet
Ich habe gerechnet:
$f'(x) = 2x*f(x)$
$f''(x) = 2*f(x) - 2f'(x)$
$f'''(x) = 2*f'(x)+2f'(x)+2xf''(x) = 4f'(x) + 2xf''(x)$
[mm] $f^{(4)}(x) [/mm] = 4*f'''(x)+2f''(x) + 2xf''(x) = 6f''(x) + 2x*f'''(x)$
[mm] $f^{(n})(x) [/mm] = [mm] 2(n-1)*f^{(n-2)} [/mm] (x) + [mm] 2xf^{(n-1)}(x)$
[/mm]
Ich weiß wohl noch dass [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] für Potenzreihen gilt und vielleicht muss ich damit ja arbeiten, aber wie man damit auf [mm] a_0 [/mm] oder so kommt ist mir rätselhaft
ich mein f(0) = 1
Also gilt ja [mm] $\sum^0_{n=0}a_nx^n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] = 1$
das ist aber auch das einzigste was ich errechnen kann
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Hallo,
Du hast bisher nur die Information f'(x)-2xf(x)=0, d.h. f'(x)=2xf(x) verwertet.
Du hast aber eine Potenzreihe, und deren Ableitung bekommt man innerhalb des Konvergenzintervalls durch gliedweises Differenzieren,
also ist auch
[mm] f'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
[/mm]
f''(x)=...
[mm] f^{(3)}(x)=...
[/mm]
usw.
Ich hab's nicht durchgerechnet, aber ich denke schon, daß Du auf diesem Weg zum Ziel kommen kannst.
Gruß v. Angela
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