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Hallo!
Ich hänge bei folgendem Problem fest:
Berechne für $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)2^{-n}(sin(x))^{n}$, [/mm] falls existent.
Als erstes habe ich mir den Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium ausgerechnet, der is bei mir gleich 2. Da ich den Ausdruck [mm] $(sin(x))^{n}$ [/mm] betragsmäßig mit 1 abschätzen kann und aus der Tatsache, dass daher die Abschätzung kleiner als der Konvergenzradius ist, folgt absolute Konvergenz, soweit so gut, aber wie berechne ich nun den Wert der Summe. Ich hätte dazu bereits den Abelschen Grenzwertsatz verwendet, aber da divergiert die Summe, nachdem ich laut Definition eingesetzt und den Ausdruck vereinfacht habe bleibt mir folgendes übrig: $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}n+1$.
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Danke im Voraus,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
> Hallo!
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> Ich hänge bei folgendem Problem fest:
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> Berechne für [mm]x \in \IR[/mm] die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)2^{-n}(sin(x))^{n}[/mm],
> falls existent.
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Ich verstehe von der ganzen Sache eigentlich nicht viel mehr als Bahnhof. Darum habe ich einfach mal ganz naiv die erten Glieder der Summe ausgeschrieben (dabei habe ich statt sin(x) einfach s geschrieben, Schreibfaulheit; x ist ja konstant) und habe zuerst gesehen, dass man das etwas aufteilen kann:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^n}s^n=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}s^n+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}s^n$
[/mm]
Die linke Summe dabei ist eine Geometrische Reihe mit der Summe [mm] $\bruch{2}{2-s}$.
[/mm]
Die zweite Summe lässt sich wieder aufteilen (einfach die Zähler der Gestalt k aufteilen in 1+(k-1)):
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}s^n=\bruch{s}{2}\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n-1}}s^{n-1}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n-1}{2^n}s^n$
[/mm]
So fortfahrend, habe ich schliesslich folgendes erhalten:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^n}s^n=$
[/mm]
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \left (\bruch{s^n}{2^n}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{s^k}{2^k}\right [/mm] )=$
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{s^n}{2^n}*\bruch{2}{2-s}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{2}{2-s}*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{s^n}{2^n}=$
[/mm]
[mm] $\bruch{2}{2-s}*\bruch{2}{2-s}=\bruch{4}{(2-s)^2}$
[/mm]
Also, nach Rücknahme der Substitution:
[mm] $\bruch{4}{(2-\sin(x))^2}$
[/mm]
Ich weiss nicht, ob mein naiver Ansatz und die Durchführung korrekt ist, das kannst du aber sicher überprüfen.
Mit freundlichen Grüssen
Paul
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