Potenzreihe bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 05.06.2011 | | Autor: | Kaese |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Potenzreihe um i mit Konvergenzradius 2 an, die in i+2 konvergiert und in -i divergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Erstmal ein Hallo an alle,
ich bin zwar in der Lage den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen. Wie ich die Aufgabe aber verstehe muss man hier wohl "von hinten" anfangen. Da Mathematik nicht zu meinen Stärken gehört, habe ich mich in diesem Forum angemeldet, um wenigstens einen kleinen Tipp zu bekommen. Auf welchem Weg komme ich von dem Konvergenzradius 2 auf die Potezreihe. Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 05.06.2011 | | Autor: | al3pou |
Also du kannst ja erstmal überlegen, wie die allgemeine Formel für die Potenzreihe aussieht. Dann kannst du einsetzen, was du hast (den Entwicklungspunkt). Anschließend würde ich mir noch eine Folge suchen, die einen Konvergenzradius von 2 hat.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Ich danke für die Antwort und führe mal fort:).
Im Allgemeinen sieht eine Potenzreihe ja in etwa so aus:
[mm] \summe_{i=0}^{n}a_{n}(x-x_{0})^{n}
[/mm]
Ist hier mit dem Entwicklungspunkt das [mm] x_{0} [/mm] gemeint und in meinem Fall das "i"?
Und bezüglich des Konvergenzradius von 2:
Die Formel ist :
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}Betrag(\bruch{a_{n}}{a_{n+1}})
[/mm]
Kann man hier eine beliebige Folge wählen Hauptsache ihr Konvergenzradius ist 2?
Dann kommt ja auch noch die Divergenz/Konvergenz hinzu. Wie kriege ich das denn alles vereint?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Ich gehe davon aus, dass im Konvergenzradius die Reihe konvergiert.
Jetzt steht hier ja der Radius soll 2 sein und in i+2 konvergieren. Wenn ich den Betrag von i+2 ausrechne, dann habe ich [mm] r=\wurzel{5} [/mm] und das ist größer als der Konvergenzradius. Ist das denn möglich oder ist hier ein Denkfehler drin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Weiß nicht, ob man das auch so sehen kann/darf:
Wenn ich das jetzt im Koordinatensystem betrachte und der Entwicklungspunkt i ist 1 auf der Imaginärachse, dann würde die Reihe in i+2 noch konvergieren (da es ja genau um den Radius 2 nach rechts verschoben ist) aber dann ja auch in -i,da das ja dann auch genau 2 vom Entwicklungspunkt entfernt ist. Die Aufgabe hat mich nun vollkommen verwirrt.
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Moin Kaese,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich gehe davon aus, dass im Konvergenzradius die Reihe
> konvergiert.
> Jetzt steht hier ja der Radius soll 2 sein und in i+2
> konvergieren. Wenn ich den Betrag von i+2 ausrechne, dann
> habe ich [mm]r=\wurzel{5}[/mm] und das ist größer als der
> Konvergenzradius. Ist das denn möglich oder ist hier ein
> Denkfehler drin?
Hier hast du den Abstand von (2+i) zu 0 in der gaußschen Zahlenebene berechnet. Wenn du also eine Reihe mit Konvergenzradius 2 im Entwicklungspunkt [mm] x_0=2+i [/mm] hast, wird die Reihe im Punkt 0 nicht konvergieren, denn [mm] \sqrt{5}>2.
[/mm]
Der Abstand von -i und (2+i) bzgl. der euklidischen Metrik ist ebenfalls größer 2. Daher kannst du, wie bereits angedeutet wurde, eine beliebige Reihe mit Konvergenzradius 2 wählen und diese im Entwicklungspunkt [mm] x_0=2+i [/mm] betrachten.
Schau mal, was du aus der Folge [mm] a_n=\frac{1}{2^n} [/mm] machen kannst.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Hieß es in den vorigen Antworten nicht der Entwicklungspunkt sei "i", nicht "i+2"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 06.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Hieß es in den vorigen Antworten nicht der
> Entwicklungspunkt sei "i", nicht "i+2"?
Tut mir leid, verlesen...
Das macht die Aufgabe deutlich schwieriger. Ich hab jetzt auf die Schnelle keine passende Potenzreihe gefunden (eine beliebige geht dann nicht, denn -i und 2+i liegen beide auf dem Kreis mit Radius 2 um den geforderten Entwicklungspunkt i).
Ich werde mich später nochmal damit beschäftigen, muss jetzt aber erstmal los.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
OKay danke;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 07.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
An (1/2)² hab ich wegen dem Radius auch gedacht. Wie ich die Aufgabe verstanden hab, sollte das "i" der Mittelpunkt des Kreises sein. Wenn das nicht der Fall ist (steht ja nicht direkt drin), könnte man doch [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}(x-(2+i))^{n} [/mm] schreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Hat gegebenenfalls noch jemand eine Idee?^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:10 Di 07.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Auch wenn die Lösung meines Problems jetzt wohl zu spät kommt, bin ich trotzdem am Rechenweg interessiert;)
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> Auch wenn die Lösung meines Problems jetzt wohl zu spät
> kommt, bin ich trotzdem am Rechenweg interessiert;)
Ich habe etwas konstruiert, das zunächst etwas kompliziert anmutet:
Sei [mm] t_n:=1/n [/mm] für [mm] n\equiv1,2 [/mm] mod(2) und [mm] t_n:=-1/n [/mm] für [mm] n\equiv0,3 [/mm] mod(2).
Also [mm] t_n=1/1, [/mm] 1/2, -1/3, -1/4,1/5,...
Offenbar hat die Potenzreihe [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{t_n}{2^n}(x-i)^n [/mm] Konvergenzradius 2.
Nun gilt es zwei kritische Stellen auszuwerten. Im Punkt x=2+i ist
[mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{t_n}{2^n}(x-i)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{t_n}{2^n}2^n =\sum_{n=1}^\infty t_n
[/mm]
Hier folgt Konvergenz in Analogie zum Leibnizkriterium.
Im Punkt x=-i ist
[mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{t_n}{2^n}(x-i)^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{t_n}{2^n}(-2i)^n =\sum_{n=1}^\infty t_n(-i)^n=:\sum_{n=1}^\infty u_n,
[/mm]
wobei [mm] u_n=\frac{-1}{n} [/mm] für n gerade und [mm] u_n=\frac{-i}{n} [/mm] für n ungerade
Für diese Reihe folgt also Divergenz in Analogie zur Divergenz der harmonischen Reihe.
Ich bin mir nicht sicher, ob sich hier viel einfachere Beispiele konstruieren lassen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Kaese |
Wirkt wirklich recht kompliziert^^.
Danke für deine Bemühungen. Werd mich wohl demnächst nochmal damit beschäftigen.
Gruß
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
