Potenzreihe stetig < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Do 17.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k [/mm] $ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0.$
Man zeige: $f$ stetig auf $]-R,R[$ und $f'(x) = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot a_kx^{k-1}. [/mm] $ |
Bei dieser Aufgabe frage ich mich, ob es denn besser ist das [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] Kriterium oder das Folgenkriterium für den Beweis zu verwenden?
Außerdem ist doch klar, wie die Ableitung lauten muss. Da steckt doch einfach die Potenzregel der Differenzialrechnung dahinter. Andererseits ist es nicht klar, ob man diese auch für unendliche Summen anwenden darf? Reicht also die Anwendung der Potenzregel oder muss ich mir etwas anderes überlegen? Wenn ja, könntet ihr mir einen Tipp geben, wie ich dorthin kommen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Fr 18.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k[/mm] eine Potenzreihe mit
> Konvergenzradius [mm]R>0.[/mm]
> Man zeige: [mm]f[/mm] stetig auf [mm]]-R,R[[/mm] und [mm]f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot a_kx^{k-1}. [/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe frage ich mich, ob es denn besser ist
> das [mm]\epsilon-\delta[/mm] Kriterium oder das Folgenkriterium für
> den Beweis zu verwenden?
>
> Außerdem ist doch klar, wie die Ableitung lauten muss. Da
> steckt doch einfach die Potenzregel der
> Differenzialrechnung dahinter. Andererseits ist es nicht
> klar, ob man diese auch für unendliche Summen anwenden
> darf? Reicht also die Anwendung der Potenzregel oder muss
> ich mir etwas anderes überlegen? Wenn ja, könntet ihr mir
> einen Tipp geben, wie ich dorthin kommen kann?
Eine Potenzreihe konvergiert absolut, und daher kannst du Potenzreihen gliedweise addieren. Also gilt
[mm] f(x)-f(y) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(x^k-y^k) [/mm] .
Jetzt würde ich mit dem [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium weitermachen.
Viele Grüße
Rainer
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