Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 30.05.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe 1 | | Wie wurden cos und sin definiert? Welche Eigenschaften haben cos und sin und welcher Zusammenhang besteht zwischen cos und sin? |
| Aufgabe 2 | | Welcher Zusammenhang zwischen Wurzel- und Quotientenkriterium und Konvergenzradius einer Potenzreihe? |
| Aufgabe 3 | | Wie erhält man eine Potenzreihe? |
zu 1) Ich weiß, wie man sin und cos als Potenzreihe darstellt und das sin und cos periodisch sind. Da sin und cos identisch und lediglich verschoben sind, sind dementsprechend auch die Potenzreihen fast identisch. Ist noch mehr darüber zu sagen?
zu 2) Ich weiß, dass man um den Konvergenzradius einer Reihe zu bestimmen auf das Wurzel- bzw Quotientenkriterium zurückgreift, aber mir ist der Zusammenhang nicht wirklich klar.
zu 3) Eine Potenzreihe erhält man durch Taylorentwicklung?
Hab ich das so richtig dargestellt und ist gegebenenfalls noch etwas zu ergänzen?
lg sclossa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie wurden cos und sin definiert? Welche Eigenschaften
> haben cos und sin und welcher Zusammenhang besteht zwischen
> cos und sin?
> Welcher Zusammenhang zwischen Wurzel- und
> Quotientenkriterium und Konvergenzradius einer
> Potenzreihe?
> Wie erhält man eine Potenzreihe?
> zu 1) Ich weiß, wie man sin und cos als Potenzreihe
> darstellt und das sin und cos periodisch sind. Da sin und
> cos identisch und lediglich verschoben sind, sind
> dementsprechend auch die Potenzreihen fast identisch. Ist
> noch mehr darüber zu sagen?
Die Eulerformel: Es gilt [mm] $\exp(i [/mm] x) = [mm] \cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x$ fuer alle $x [mm] \in \IC$. [/mm] Und weiterhin gilt [mm] $\sin [/mm] x = [mm] \frac{\exp(i x) - \exp(-i x)}{2}$ [/mm] und [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \frac{\exp(i x) + \exp(-i x)}{2}$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in \IC$.
[/mm]
Ansonsten kannst du noch die Nullstellen von [mm] $\sin [/mm] x$ und [mm] $\cos [/mm] x$ beschreiben... Die komplexen Funktionen [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind uebrigens (im Gegensatz zu [mm] $\exp$, [/mm] welches nur [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] als Bild hat) surjektiv.
> zu 2) Ich weiß, dass man um den Konvergenzradius einer
> Reihe zu bestimmen auf das Wurzel- bzw Quotientenkriterium
> zurückgreift, aber mir ist der Zusammenhang nicht wirklich
> klar.
Es gibt doch folgende Formeln fuer den Konvergenzradius eine Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$:
[/mm]
(1) $R = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] (Cauchy-Hadamard) und
(2) $R = [mm] \limsup_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ [/mm] falls [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ fuer fast alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Die beiden Kriterien (also Wurzel- und Quotienten-) beweist man uebrigens, indem man alles auf die geometrische Reihe zurueckfuehrt. Was mal wieder rechtfertigt warum die geometrische Reihe wohl mit die wichtigste Reihe ueberhaupt ist 
> zu 3) Eine Potenzreihe erhält man durch Taylorentwicklung?
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Erstmal danke für deine schnelle Antwort 
Zur zweiten Aufgabe... Eins ist mir immer noch nicht klar - warum berechnet man gerade auf diese Weise den Konvergenzradius der Potenzreihe? Und warum nimmt man den Kehrwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo sclossa!
> Erstmal danke für deine schnelle Antwort
>
> Zur zweiten Aufgabe... Eins ist mir immer noch nicht klar -
> warum berechnet man gerade auf diese Weise den
> Konvergenzradius der Potenzreihe? Und warum nimmt man den
> Kehrwert?
(Schau mal auch hier.) Es ist [mm] $\limsup \sqrt[n]{|a_n z^n|} [/mm] < 1 [mm] \Leftrightarrow \limsup \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] |z| < 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] |z| < [mm] \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Wow, ich habe keine Ahung von dem was hier gesagt wird, aber es besteht auch der Zusammenhang dass sin(x)²+cos(x)²=1 sind, wenn das hilft :)
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