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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Wann konvergiert die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{00} [/mm] (n+1) [mm] x^n [/mm] ?
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Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
Ich habe den Konvergenzradius R mit der Cauchy-Hadamard-Formel erechnet und erhalte
R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+1} [/mm] = 1
somit konvergiert die Potenzreihe für alle x [mm] \varepsilon [/mm] I = (-1,1)
Anschließend habe ich die Konvergenz am Rand geprüft:
Hierfür betrachte man die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{00} [/mm] (n+1) * [mm] 1^n [/mm]
und da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n+1) * [mm] 1^n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
folgt somit: Keine Konvergenz am Rand
Stimmt das so?
lg Sclossa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sclossa!
> Wann konvergiert die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{00}[/mm] (n+1)
> [mm]x^n[/mm] ?
>
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> Ich habe den Konvergenzradius R mit der
> Cauchy-Hadamard-Formel erechnet und erhalte
>
> R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+1}[/mm] = 1
Eigentlich musst du den Kehrwert nehmen, bei $1$ ist es aber egal...
> somit konvergiert die Potenzreihe für alle x [mm]\varepsilon[/mm] I
> = (-1,1)
Genau. Und ausserhalb von $[-1, 1]$ divergiert sie.
> Anschließend habe ich die Konvergenz am Rand geprüft:
> Hierfür betrachte man die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{00}[/mm] (n+1) * [mm]1^n[/mm]
> und da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (n+1) * [mm]1^n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> folgt somit: Keine Konvergenz am Rand
Keine Konvergenz beim Randpunkt $x = 1$. Was ist mit dem anderen Randpunkt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Ok...ich hab den Randpunkt -1 vergessen...
aber auch bei diesem Randpunkt ergibt sich keine Konvergenz.
Aber andere Randpunkte gibt es doch nicht? Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok...ich hab den Randpunkt -1 vergessen...
> aber auch bei diesem Randpunkt ergibt sich keine
> Konvergenz.
Genau.
> Aber andere Randpunkte gibt es doch nicht? Oder?
In [mm] $\IR$ [/mm] nein. Du kannst die Potenzreihe natuerlich auch in [mm] $\IC$ [/mm] betrachten, da hast du dann alle Punkte auf dem Einheitskreisrand... Die kannst du allerdings mit dem gleichen Argument totschlagen (falls ihr euch solche Punkte ueberhaupt schon angeschaut habt)...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Hmm... ok. Das hab ich dann mal jetzt soweit verstanden.
Könntest du dir vielleicht mal noch die anderen Aufgabe von mir zu Taylor-und Potenzreihen mal ansehen? 
lg
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