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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe f(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ( arccos [mm] \bruch{1}{2K+1}){^k} [/mm] * [mm] x^{2K} [/mm] |
bei mir nur ganz viele ??????????????????????????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke. Gruß
Torsten
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Hallo Torsten,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für die Bestimmung des ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius' gibt es zwei Formeln.
Verwende hier (in Anlehnung an das Wurzelkriterium):
$$r \ = \ [mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\left| \ a_k \ \right|}}$$
[/mm]
Das bedeutet hier:
$$r \ = \ [mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\left| \ \left[ \ \arccos\left(\bruch{1}{2k+1}\right) \ \right]^k\right|}} [/mm] \ = \ ...$$
Am Ende dann noch berücksichtigen, dass wir hier [mm] $x^{\red{2}*k}$ [/mm] vorliegen haben.
Gruß vom
Roadrunner
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genau das mit dem [mm] x^{2K} [/mm] ist ja mein Problem.
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Hallo Torsten!
Für den endgültigen Konvergenzradius $r'_$ musst Du aus dem ermittelten Wert $r_$ (was hast Du denn da raus?) die Wurzel ziehen - sozusagen als Umkehrung zu [mm] $x^{2*k} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^k\right)^2$ [/mm] :
$$r' \ = \ [mm] \wurzel{r}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Alles klar. Melde mimch, wenn ich es habe. Aber wohl erst morgen. Vielen Dank
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Ich habe r=0
Das ist wohl falsch.
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Hallo Torsten,
ja, das passt nicht.
es ist doch [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left[\arccos\left(\frac{1}{2k+1}\right)\right]^k}=\lim\limits_{k\to\infty}\left[\arccos\left(\frac{1}{2k+1}\right)\right]=\arccos(0)=\frac{\pi}{2}
[/mm]
Also....
LG
schachuzipus
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Also ist das Endergebniss:
[mm] r=\wurzel{\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
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Hallo Torsten!
Wir haben hier $r \ = \ [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\arccos\left(\bruch{1}{2k+1}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\arccos(0)} [/mm] \ = \ ...$ ermittelt.
Was heißt das also für unseren gesuchten Konvergenzradius $r'_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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Dummmer Flüchtigkeitsfehler also nur Kehrwert bilden und dann Wurzelziehen.
[mm] \wurzel \bruch {2}{\pi}
[/mm]
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Hallo Torsten!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun stimmt's ...
Gruß vom
Roadrunner
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