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(Frage) beantwortet | Datum: | 16:23 So 25.11.2007 | Autor: | balboa |
Aufgabe | Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
a) bestimme dazu den Konvergenzradius
b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken Rand des Konvergenzbereiches liegt
c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt
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Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm] komme jetzt aber nicht weiter;
für b) und c) habe ich noch gar keinen Ansatz.
Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig | Datum: | 23:33 So 25.11.2007 | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe
> [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
> a) bestimme dazu den Konvergenzradius
> b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken
> Rand des Konvergenzbereiches liegt
> c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am
> rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt
>
> Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm]
Wie kommst du auf diesen Ausdruck? Der Konvergenzradius ist eine nichtnegative Größe, wie kann dann da ein (-1) im Zähler stehen?
Tipp: die Berechnung mit der Formel von Cauchy-Hadamard ist ein bischen mühsam; in diesem kannst du, da der Limes existiert, die einfachere Formel
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm]
verwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | Datum: | 02:04 Mo 26.11.2007 | Autor: | balboa |
Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm] errechnet.
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Hallo Christian,
> Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine
> Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner
> Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
errechnet.
Das passt nicht, wie hast du's denn gerechnet?
Wie rainer schon sagte, das Kriterium heißt Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Berechne $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|a_k\right|}$
Dann ist der Konvergenzradius $R:=\frac{1}{r}$ und die Potenzreihe konvergiert für $|x-1|<R$
Also $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(-1)^k}{k+1}\right|}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k+1}}=...$
Alternativ kannst du - wie rainer erwähnt hat - gemäß dem Euler-Kriterium $r=\lim\limits_{k\to\infty}{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ berechnen mit derselben Konvergenzaussage wie oben
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:07 Mo 26.11.2007 | Autor: | balboa |
Gerechnet habe ich wie folgt:
[mm] \left|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}}{\bruch{(-1)^k}{3k+2}}\right| =\left|\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}*\bruch{3k+2}{(-1)^k}\right| = \bruch{3k+2}{3k+3+2} \rightarrow 3k[/mm] gekürzt [mm]= \bruch{2}{5} \rightarrow \bruch{1}{r} = \bruch{1}{\bruch{2}{5}} = 1*\bruch{5}{2} = \bruch{5}{2} = r[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 19:48 Mi 28.11.2007 | Autor: | balboa |
OK, dank des Ausklammerns habe ich es jetzt auch gesehen.
Konvergenz also für x von 0 bis <2.
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