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Potenzreihen: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 25.11.2007
Autor: balboa

Aufgabe
Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
a) bestimme dazu den Konvergenzradius
b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken Rand des Konvergenzbereiches liegt
c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt

Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm] komme jetzt aber nicht weiter;
für b) und c) habe ich noch gar keinen Ansatz.

Bitte helft mir.

        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 So 25.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe
> [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{(-1)^k}{3k+2}(x-1)^k[/mm];
> a) bestimme dazu den Konvergenzradius
> b) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am linken
> Rand des Konvergenzbereiches liegt
>  c) untersuche die Konvergenz für den Fall, dass x am
> rechten Rand des Konvergenzbereiches liegt
>  
> Zu a) habe ich bisher [mm]\limes_{k \to \infty}\bruch{(-1)}{\wurzel{3k+2}}[/mm]

Wie kommst du auf diesen Ausdruck? Der Konvergenzradius ist eine nichtnegative Größe, wie kann dann da ein (-1) im Zähler stehen?

Tipp: die Berechnung mit der Formel von Cauchy-Hadamard ist ein bischen mühsam; in diesem kannst du, da der Limes existiert, die einfachere Formel

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm]

verwenden.

Viele Grüße
   Rainer

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Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:04 Mo 26.11.2007
Autor: balboa

Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm] errechnet.

Bezug
                        
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Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Mo 26.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Christian,


> Danke für den Hinweis. Ich habe in meiner Literatur eine
> Formel gelesen, die dem Wurzelkriterium ähnelt. Mit deiner
> Formel habe ich jetzt [mm]\bruch{5}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[notok] errechnet.

Das passt nicht, wie hast du's denn gerechnet?


Wie rainer schon sagte, das Kriterium heißt Kriterium von Cauchy-Hadamard.

Berechne $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|a_k\right|}$

Dann ist der Konvergenzradius $R:=\frac{1}{r}$ und die Potenzreihe konvergiert für $|x-1|<R$

Also $r=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(-1)^k}{k+1}\right|}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k+1}}=...$

Alternativ kannst du - wie rainer erwähnt hat - gemäß dem Euler-Kriterium $r=\lim\limits_{k\to\infty}{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ berechnen mit derselben Konvergenzaussage wie oben


LG


schachuzipus




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Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mo 26.11.2007
Autor: balboa

Gerechnet habe ich wie folgt:
[mm] \left|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}}{\bruch{(-1)^k}{3k+2}}\right| =\left|\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}*\bruch{3k+2}{(-1)^k}\right| = \bruch{3k+2}{3k+3+2} \rightarrow 3k[/mm] gekürzt [mm]= \bruch{2}{5} \rightarrow \bruch{1}{r} = \bruch{1}{\bruch{2}{5}} = 1*\bruch{5}{2} = \bruch{5}{2} = r[/mm]

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Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Mo 26.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Gerechnet habe ich wie folgt:
>  
> [mm] \left|\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}}{\bruch{(-1)^k}{3k+2}}\right| =\left|\bruch{(-1)^{k+1}}{3(k+1)+2}*\bruch{3k+2}{(-1)^k}\right| [/mm] = [mm] \bruch{3k+2}{3k+3+2} [/mm] [daumenhoch] [mm] \rightarrow [/mm] 3k [schockiert]
> gekürzt

aus ner Summe ??? Oha, das ist grob unsportlich ;-)

[mm]= \bruch{2}{5} \rightarrow \bruch{1}{r} = \bruch{1}{\bruch{2}{5}} = 1*\bruch{5}{2} = \bruch{5}{2} = r[/mm]

Verstehe ich nicht, du hast richtig berechnet:

[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{3k+2}{3k+5}$ [/mm]

Aber das strebt doch für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen 1 !!

Klammere mal $3k$ in Zähler und Nenner aus und kürze es, dann siehste das ganz deutlich

Also $...r=1=R$

Damit Konvergenz für $|x-1|<1$, also für welche x?

LG

schachuzipus

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Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mi 28.11.2007
Autor: balboa

OK, dank des Ausklammerns habe ich es jetzt auch gesehen.
Konvergenz also für x von 0 bis <2.

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