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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Man bestimme jeweils die Entwicklungsstelle x* (den Mittelpunkt x*) des Konvergenzintervalles und den Konvergenzradius r der folgenden Potenzreihe (Summenzeichen) ck (x - [mm] x*)^k, [/mm] (k=k0, k0+1,...; k0>=0):
a) (Summenzeichen) [mm] k(3x)^k [/mm]
Lösung: x*=0, r=1/3
x*=0, aber für den Radius bekomme ich etwas anderes heraus:
ck ist doch k, oder??? Ich glaub hierin liegt der Fehler, denn:
r=lim (k gegen unendlich) |ck/ck+1| = k/(k+1) = k/(k(1+1/k)) -> k wird gekürzt, bleibt übrig: 1/(1+1/k) -> k gegen Unendlich: 1/(1+0) = 1 (nicht 1/3)
Was ist falsch?
Oder bei der zweiten Aufgabe komme ich auch nicht weiter:
b) (Summenzeichen) [mm] (1/3!)k^k {(x/2)-1}^k [/mm]
Lösung: x*=2, r=0
x*=2 (denn (x/2)-1=0, nach x auflösen), aber was ist hier ck und wie berechne ich dann damit r?
Über jede Antwort wäre ich sehr dankbar!
MfG Sue
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) www.uni-protokolle.de
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Hallo Sue,
bei Teil a) ist [mm] c_k [/mm] = [mm] k\cdot3^k [/mm] (du darfst die 3 in der Klammer nicht vergessen), deswegen kommt r=1/3 raus.
Bei Teil b) handelt es sich nicht um eine Potenzreihe, schau bitte nochmal nach, ob du die Angabe richtig abgeschrieben hast.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 01.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Die Aufgabe b) steht so da:
(Summenzeichen) [mm] (1/3!)k^k \{(x/2 - 1 \}^k
[/mm]
[mm] c_{k} [/mm] = [mm] (1/3!)k^k, [/mm] oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 01.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Sorry, nach x/2 noch eine schließende Klammer, also:
[mm] (1/3!)k^k \{(x/2) - 1 \}^k
[/mm]
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Hallo Sue,
am besten klammest du immer so aus, dass das x alleine steht, d.h. hier:
[mm]\frac{1}{3!}k^k(\frac{x}{2}-1)^k[/mm]=[mm]\frac{1}{3!}(\frac{k}{2})^k\cdot(x-2)^k[/mm]
Dann ist klar, dass [mm]x_0=2[/mm]. Das vor der Klammer ist dann [mm] c_k
[/mm]
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo,
ich komme bei b) nicht auf r=0.
Hier meine Rechnung:
r=lim(k gegen unendlich) [mm] |(c_{k})/(c_{k+1})| [/mm] = (1/3! [mm] (k/2)^k)/(1/3! [/mm] ((k+1)/2))^(k+1)
= [mm] ((k/2)^k)/(((k+1)/2)^{k+1})
[/mm]
= [mm] ((k/2)^k)/(((k+1)/2)^k*((k+1)/2))
[/mm]
= [mm] ((k^k)/(2^k))/(((k+1)^k)/(2^k)*((k+1)/2)))
[/mm]
[mm] 2^k [/mm] kürzen
= [mm] (2k^k)/(((k+1)^k)*(k+1))
[/mm]
= [mm] 2/((((k+1)/k)^k)*(k+1))
[/mm]
= [mm] 2/(((1+(1/k))^k)*(k+1)) [/mm] hier komme ich nicht weiter
(k gegen unendlich) -> 2/e ...
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Wirklich nachrechnen konnte ich nicht alles, da es wegen den vielen Klammern doch ziemlich schlecht lesbar ist. Aber wenn ich diesen Faktor 2, den Hugo ausgeklammert hat, gleich weglasse, dann komm ich auf ein ähnliches Ergebnis wie du (bis auf einen Faktor 2, der aber hier eh nicht wichtig ist).
Ich nehme an, die letzte Zeile sollte bei dir heißen:
[mm]\bruch{2}{(1+\bruch{1}{k})^k \cdot (k+1)}[/mm].
Für [mm]k \to \infty[/mm] geht der Faktor [mm](1+\bruch{1}{k})^k[/mm] tatsächlich [mm]\to e[/mm], aber da gibt's ja noch den Faktor [mm](k+1)[/mm], der [mm]\to \infty[/mm] geht.
Somit geht der deine letzte Zeile [mm]\to \bruch{2}{e \cdot \infty} \to 0[/mm], was dann auch dein Konvergenzradius ist.
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