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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 17.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi, ich scheitere hier kläglich schon am Hinweis wie die Aufgabe zu rechnen ist. Ich denke mal mit [mm] a_{n} [/mm] ist gemeint [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] Heißt das die wollen hier eine Partialbruchzerlegung? Danke schonmal!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi, ich scheitere hier kläglich schon am Hinweis wie die
> Aufgabe zu rechnen ist. Ich denke mal mit [mm]a_{n}[/mm] ist gemeint
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)}[/mm] Heißt das die wollen hier eine
> Partialbruchzerlegung? Danke schonmal!
Der Anfang ist ganz einfach:
Es gilt [mm] \bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Im Aufgabentext ist übrigens ein Druckfehler. In der
Reihendarstellung muss der Nenner unter dem Zähler
[mm] x^4 [/mm] nicht 2, sondern 20 sein. Ausserdem ist das erste
Summenzeichen sinnlos.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 18.12.2008 | | Autor: | JMW |
Vielen Dank Al-Chwarizmi! Wie bist du genau darauf gekommen?
Und wie soll ich die Glieder mit gleichem Koeffizienten zusammenfassen?
So wie ich das sehen würde hieß es ja jetzt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n}-\bruch{x^n}{n+1} [/mm]
Jetzt ist zumindest schonmal [mm] \bruch{x^n}{n} [/mm] ähnlich wie in der ln (1+x) Summenformel.
Aber wie das andere ähnlich wird, davon habe ich kein Plan.
Auch irritiert mich das in der Aufgabenstellung steht: Vergleichen sie das Ergebnis mit der Potenzreihenentwicklung ln(1-x): und dann steht ln (1+x)=... Noch ein Druckfehler?
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> Vielen Dank Al-Chwarizmi! Wie bist du genau darauf
> gekommen?
Das hab ich einfach gewusst, weil schon oft gebraucht.
Praktisch als Kopfrechenhilfe, z.B. [mm] $\bruch{1}{8}-\bruch{1}{9}=\bruch{1}{72}$
[/mm]
Es handelt sich natürlich um Partialbruchzerlegung.
> Und wie soll ich die Glieder mit gleichem Koeffizienten
> zusammenfassen?
>
> So wie ich das sehen würde hieß es ja jetzt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n}-\bruch{x^n}{n+1}[/mm]
>
> Jetzt ist zumindest schonmal [mm]\bruch{x^n}{n}[/mm] ähnlich wie in
> der ln (1+x) Summenformel.
>
> Aber wie das andere ähnlich wird, davon habe ich kein
> Plan.
> Auch irritiert mich das in der Aufgabenstellung steht:
> Vergleichen sie das Ergebnis mit der
> Potenzreihenentwicklung ln(1-x): und dann steht ln
> (1+x)=... Noch ein Druckfehler?
Aus der Reihe für $\ ln(1+x)$ kann man ganz leicht eine
für $\ ln(1-x)$ machen, indem man $\ x$ durch $\ -x$ ersetzt.
Aber gehen wir der Reihendarstellung doch gerade
auf den Grund ! Ziel: die Funktion $\ L(x)=ln(1-x)$
durch eine Reihe darstellen:
$\ L(x)=ln(1-x)$
ableiten:
$\ [mm] L'(x)=\bruch{-1}{1-x}=-(1+x+x^2+x^3+ [/mm] ....... )$ falls $\ |x|<1$
(unendliche geometrische Reihe !)
wieder integrieren:
$\ [mm] L(x)=-(x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^4}{4}+ [/mm] ....... )+C$
$\ C=0$ , weil $\ L(0)=ln(1)=0$
Nun kann man dies an der Stelle von $\ ln(1-x)$ in die
für $\ f(x)$ vorgegebene Formel einsetzen:
$\ [mm] f(x)=1+(\bruch{1}{x}-1)*L(x)= [/mm] .......$
Jetzt einfach mal ausmultiplizieren und versuchen,
zusammenzubringen, was zusammen gehört ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Fr 19.12.2008 | | Autor: | JMW |
Super, dankeschön für die ausführliche Erklärung!!
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