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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 17.01.2009 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | Seien [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm] , [mm] g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*x^n [/mm] und [mm] h(x)=\summe_{n=0}^{\infty}c_n*x^n [/mm] auf (-R,R) konvergente Potenzreihen.
a) Zeigen Sie, dass die Reihe f (auch g und h) in jedem [mm] x\in(-R,R) [/mm] absolut konvergent.
b) Beweisen Sie, falls [mm] \forall x\in(-R,R) [/mm] : f(x)=0, dann [mm] \forall [/mm] n: [mm] a_n=0.
[/mm]
Schlussfolgern Sie, dass wenn [mm] \forall x\in(-R,R): [/mm] f(x)=g(x)h(x), dann [mm] a_n=\summe_{k=0}^{n}b_k*c_n_-_k. [/mm] |
Hallo, Leute!!!
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, ich komme absolut nicht klar mit diesen Sachen, weiß überhaupt nicht wie ich dran gehen soll.
Danke im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 So 18.01.2009 | | Autor: | felixf |
Moin
> Seien [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm] ,
> [mm]g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*x^n[/mm] und
> [mm]h(x)=\summe_{n=0}^{\infty}c_n*x^n[/mm] auf (-R,R) konvergente
> Potenzreihen.
Ich vermute mal $R$ ist eine positive reelle Zahl (oder [mm] $+\infty$).
[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass die Reihe f (auch g und h) in jedem
> [mm]x\in(-R,R)[/mm] absolut konvergent.
Sagt dir der Konvergenzradius einer Potenzreihe etwas? Mit dem Wurzelkriterium kann man zeigen, dass es z.B. zu $f(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] eine Zahl $r [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) \cup \{ \infty \}$ [/mm] gibt so, dass fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x| < r$ die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] absolut konvergiert und fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x| > r$ die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] divergiert.
Damit folgt nun $r [mm] \ge [/mm] R$ (warum?), womit $f(x)$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (-R, R)$ absolut konvergiert.
> b) Beweisen Sie, falls [mm]\forall x\in(-R,R)[/mm] : f(x)=0, dann
> [mm]\forall[/mm] n: [mm]a_n=0.[/mm]
Weisst du etwas ueber Ableitungen von absolut konvergenten Funktionenreihen?
Berechne doch mal [mm] $\frac{d^k}{d x^k} [/mm] f(0)$ fuer $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
> Schlussfolgern Sie, dass wenn [mm]\forall x\in(-R,R):[/mm]
> f(x)=g(x)h(x), dann [mm]a_n=\summe_{k=0}^{n}b_k*c_n_-_k.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeige erstmal, dass $\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n b_k c_{n-k} \right) x^n$ absolut konvergiert auf $(-R, R)$. (Stichwort: Cauchy-Produkt.)
Dann betrachte die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty \left( a_n - \sum_{k=0}^n b_k c_{n-k} \right) x^n \right) x^n$. Was kannst du fuer alle $x \in (-R, R)$ aussagen? Was folgt daraus fuer jedes $a_n - \sum_{k=0}^n b_k c_{n-k}$, $n \in \IN$ mit Aufgabneteil b)?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:39 So 18.01.2009 | | Autor: | laurel |
Hi!Danke, dass du mir geantwortet hast!!
Also, für a):
wenn die Potenzreihe konvergent auf (-R,R) ist, dann besitzt sie einen Konvergenzradius r<R .(oder?)
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n x^n|}=|x| [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
[mm] r=\bruch{1}{lim sup \wurzel[n]{|a_n|}} [/mm] => [mm] \bruch{1}{r}=lim [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
=> |x|lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}=|x| \bruch{1}{r}<1
[/mm]
=>|x|<r
somit ist die Potenzreihe absolut konvergent.
Ich weiß aber nicht, ich zeigen kann, dass f(x) auf (-R,R) konvergiert.
Muss ich vielleich 2 Fälle unterscheiden: [mm] x\in [/mm] (-R,0) und (0,R) ?
Danke Dir!Gruß!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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