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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Do 01.12.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | Bestimmen sie für [mm] z\in\IC [/mm] den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2}z^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=3}^{\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k})z^n
[/mm]
untersuchen sie für elche z auf dem rand des konvergenzkreises die Potenzreihen konvergieren. |
ich habs bei a),b) mit dem quotientenverfahren probiert und hab bei:
a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2}z^n
[/mm]
[mm] =\bruch{2^n}{n^2}\bruch{z^n}{1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{2^n^+^1}{(n+1)^2}\times\bruch{n^2}{2^n})\times\bruch{z^n^+^1}{1}\times(\bruch{1}{z^n})
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=3}^{\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k})z^n
[/mm]
[mm] =\summe_{n=3}^{\infty}\bruch{z^n}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{z^n^+^1}{n+1}\times\bruch{n}{z^n}
[/mm]
aber ich glaub so kann das nicht lösen oder?
und kann mir jemand das hier erklären:"
untersuchen sie für elche z auf dem rand des konvergenzkreises die Potenzreihen konvergieren."
hab nämlich in meinem skript garnichts von einem konvergenzkreis stehen, kann mir also nichts dabei vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie für [mm]z\in\IC[/mm] den Konvergenzradius der
> folgenden Potenzreihen
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2}z^n[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=3}^{\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k})z^n[/mm]
>
> untersuchen sie für elche z auf dem rand des
> konvergenzkreises die Potenzreihen konvergieren.
> ich habs bei a),b) mit dem quotientenverfahren probiert
> und hab bei:
> a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{n^2}z^n[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2^n}{n^2}\bruch{z^n}{1}[/mm]
Das "=" ist fehl am Platz !
>
> [mm]=(\bruch{2^n^+^1}{(n+1)^2}\times\bruch{n^2}{2^n})\times\bruch{z^n^+^1}{1}\times(\bruch{1}{z^n})[/mm]
Auch hier: weg mit "="
Wir setzen [mm] a_n:=\bruch{2^n}{n^2}. [/mm] Berechne $l: =lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|}$
[/mm]
Der Konvergenzradius ist dann = [mm] \bruch{1}{l}
[/mm]
>
> b)
> [mm]\summe_{n=3}^{\infty} (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k})z^n[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=3}^{\infty}\bruch{z^n}{n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{z^n^+^1}{n+1}\times\bruch{n}{z^n}[/mm]
>
> aber ich glaub so kann das nicht lösen oder?
Nein, das ist Chaos pur !
Setze [mm] a_n: [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Dann : 1 [mm] \le a_n \le [/mm] n, also 1 [mm] \le \wurzel[n]{|a_n|} \le \wurzel[n]{n}
[/mm]
Berechne $l: =lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|}$
[/mm]
Der Konvergenzradius ist dann = [mm] \bruch{1}{l}
[/mm]
>
> und kann mir jemand das hier erklären:"
> untersuchen sie für elche z auf dem rand des
> konvergenzkreises die Potenzreihen konvergieren."
> hab nämlich in meinem skript garnichts von einem
> konvergenzkreis stehen, kann mir also nichts dabei
> vorstellen.
gegeben: eine Potenzreihe [mm] \sum a_nz^n [/mm] mit Konvergenzradius r [mm] \in(0, \infty)
[/mm]
Dann gilt (nach Vorlesung):
Die Potenzreihe konvergiert absolut für |z|<r und sie divergiert für |z|>r
Die Punkte auf dem Rand des konvergenzkreises sind die Punkte z [mm] \in \IC [/mm] mit: |z|=r
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 01.12.2011 | | Autor: | Benz |
ok ich komme langsam dahinter aber ich hab da noch paar fragen und zwar:
kann man das [mm] z^n [/mm] einfach so weglassen, also ich mein einfach $ [mm] a_n:=\bruch{2^n}{n^2}. [/mm] $ hinschreiben und wo ist dan das [mm] z^n [/mm] hin?
ich weiß das du es hier defenierst $ l: =lim [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] $ aber der zwischenschritt wäre hilfreich.
bei b) hast du garnicht $ [mm] =\summe_{n=3}^{\infty} [/mm] $ gebraucht warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok ich komme langsam dahinter aber ich hab da noch paar
> fragen und zwar:
>
> kann man das [mm]z^n[/mm] einfach so weglassen, also ich mein
> einfach [mm]a_n:=\bruch{2^n}{n^2}.[/mm] hinschreiben und wo ist dan
> das [mm]z^n[/mm] hin?
>
> ich weiß das du es hier defenierst [mm]l: =lim \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> aber der zwischenschritt wäre hilfreich.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
FRED
>
> bei b) hast du garnicht [mm]=\summe_{n=3}^{\infty}[/mm] gebraucht
> warum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 01.12.2011 | | Autor: | Benz |
also bei a) kriege ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
und bei b) 1 raus
stimmt das so oder liege ich wieder komplet daneben?^^
und wie messe ich jetzt die randstellen ich weiß zwar wie groß jetzt mein r ist aber vom z hab ich immernoch keine ahnung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> also bei a) kriege ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> und bei b) 1 raus
> stimmt das so oder liege ich wieder komplet daneben?^^
Es stimmt.
> und wie messe ich jetzt die randstellen ich weiß zwar wie
> groß jetzt mein r ist aber vom z hab ich immernoch keine
> ahnung
Bei a) mußt Du auf Konvergenz untersuchen, alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|=1/2
Bei b) alle z mit |z|=1
FRED
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