Potenzreihen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:29 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Berechne die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n! * [mm] (\bruch{z^n}{n^n})^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}} [/mm] |
hallo
könnte mir vielleicht jemand bei konvergenzradien helfen?
ich weiß echt nicht wie man am besten an die sache herangeht.
ich hab beim ersten mal das wurzelkriterium genommen, komm aber nicht wirklich auf was sinvolles. kann es sein das der konvergenzradius 0 ist?
beim 2. bsp weiß ich nicht wie ich ansetzen soll.
bitte um hilfe
grüße
felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n! * [mm](\bruch{z^n}{n^n})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dies kannst Du erstmal umschreiben in
$$\summe_{n=1}^{\infty} n! * (\bruch{z^n}{n^n})^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^{(n^2)}} z^{(n^2)\,,$$
Das sieht erstmal noch nicht wirklich wie eine Potenzreihe aus. Aber das kann man so beheben:
Du schreibst das wirklich als
$$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k\,,$$
wobei Du an geeigneten Stellen dann $a_k=0$ setzt und ansonsten passend zu oben (also $a_0=0\,,$ $a_1=1!/1^{(1^2)}\,,$ $a_2=0\,,$ $a_3=0\,,$ $a_4=2!/2^{(2^2)}$ etc.), und dann schaust Du Dir an, wie hier das Wurzelkriterium anzuwenden ist. Du solltest dann sehen, dass "nur" noch
$$r=1/\Big(\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n^2]{\left|\frac{n!}{n^{(n^2)}}\right|}\Big)$$
berechnen brauchst!
$\text{(}$Denn: Nur die $k \in \IN$ von der Form $k=n^2$ mit einem $n \in \IN$ erfüllen $a_k \not=0\,,$ und für $a_k\,$ mit $k=n^2$ ist dann
$$a_k=n!/n^{(n^2)}$$
bzw.
$$a_k z^k=\frac{n!}{n^{(n^2)}}z^{(n^2)}\,.\text{)}$$
(Dieses "Schema", was am Ende da "für eine Wurzel gezogen wirst", solltest Du Dir behalten. Gleich werden wir das nochmal sehen!)
Das witzige war, dass Du hier
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}[/mm]
gemeint hast, dass Du nicht weißt, wie Du herangehen sollst. Es gibt zwei Möglichkeiten:
Entweder Du gehst analog zu oben vor, dann schreibst Du
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}=0*z^0+0*z^1+\frac{1}{(4+(-1)^1)^{3*1}}z^2+\ldots$$
[/mm]
und siehst dann, dass Du
[mm] $$r=1/\Big(\limsup_{n \to\infty}\sqrt[2n]{\frac{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}}\Big)$$
[/mm]
zu berechnen hast, oder aber Du sagst:
Okay, ich substituiere [mm] $p:=z^2\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{2n}}{(4+(-1)^n)^{3n}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}(z^2)^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(4+(-1)^n)^{3n}}p^n\,.$$
[/mm]
Jetzt musst Du aber aufpassen: In [mm] $p\,$ [/mm] hast Du nun wirklich im wesentlichen eine Potenzreihe in gewohnter Form dastehen. Für diese kannst Du [mm] $r(p)\,$ [/mm] ausrechnen. Dann weißt Du:
Diese konvergiert in [mm] $p\,$ [/mm] für alle [mm] $p\,$ [/mm] mit $|p| < [mm] r(p)\,,$ [/mm] und sie divergiert in [mm] $p\,$ [/mm] für alle [mm] $p\,$ [/mm] mit $|p| > [mm] r(p)\,.$
[/mm]
Aber: Die Ausgangsreihe in [mm] $z\,$ [/mm] hat einen anderen Konvergenzradius. Denn: Die Reihe konvergiert in [mm] $z\,$ [/mm] für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z^2| [/mm] < [mm] r(p)\,,$ [/mm] und sie divergiert für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z^2| [/mm] > [mm] r(p)\,.$ [/mm] Die Ausgangsreihe in [mm] $z\,$ [/mm] hat also dann den Konvergenzradius [mm] $r=r(z)=\sqrt{r(p)}\,.$ [/mm] (Denn [mm] $|z^2| [/mm] < r(p) [mm] \gdw [/mm] |z| < [mm] \sqrt{r(p)}\,,$ [/mm] und analoges gilt "für [mm] $>\,$".)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Do 09.02.2012 | | Autor: | fe11x |
herzlichen dank für deine ausführliche antwort.
also ich hab beim 1. konvergenzradius Unendlich rausbekommen.
kann das stimmen?
ich bin mir echt unsicher dabei? kann das vielleicht jemand nachrechnen ob das passt? lern gerade für die analysis 1 klausur und brauch da irgendwie sicherheit.
beim 2. hab ich konvergenzradius [mm] \wurzel{27} [/mm] rausbekommen. das kommt mir noch komischer vor. bin gerade total verunsichert.
bitte um hilfe
danke im voraus
grüße
felix
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Hallo Felix,
> ..
> herzlichen dank für deine ausführliche antwort.
>
> also ich hab beim 1. konvergenzradius Unendlich
> rausbekommen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann das stimmen?
Ja!
> ich bin mir echt unsicher dabei? kann das vielleicht
> jemand nachrechnen ob das passt? lern gerade für die
> analysis 1 klausur und brauch da irgendwie sicherheit.
>
> beim 2. hab ich konvergenzradius [mm]\wurzel{27}[/mm] rausbekommen.
> das kommt mir noch komischer vor. bin gerade total
> verunsichert.
Hmm, das sieht mir nicht nach dem [mm]\limsup[/mm] aus sondern nach dem [mm]\liminf[/mm] ...
Der [mm]\limsup[/mm] ergibt sich doch für die Teilfolge mit geradem n, ist also [mm](4+1)^3=125[/mm]
Damit hast du Konvergenz für [mm]|z|<\sqrt{125}[/mm]
Ansonsten gilt hier die Devise: Du rechnest vor und wir schauen nach evtl. Fehlern ...
>
> bitte um hilfe
> danke im voraus
> grüße
> felix
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 09.02.2012 | | Autor: | fe11x |
nein es ist doch eben nicht [mm] \wurzel{125}, [/mm] denn wenn man sich die folge ansieht ist es [mm] \bruch{1}{\wurzel{125}} [/mm] und das ist doch auf alle fälle kleiner als [mm] \bruch{1}{\wurzel{27}}, [/mm] daher ist doch eher zweiterer der lim sup, der ja als der größte HP definiert ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ...
> nein es ist doch eben nicht [mm]\wurzel{125},[/mm] denn wenn man
> sich die folge ansieht ist es [mm]\bruch{1}{\wurzel{125}}[/mm] und
> das ist doch auf alle fälle kleiner als
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{27}},[/mm] daher ist doch eher zweiterer der
> lim sup, der ja als der größte HP definiert ist oder?
Ja, der Konvergenzradius ist [mm] \wurzel{27}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Do 09.02.2012 | | Autor: | fe11x |
herzlichen dank an alle die geholfen haben!
ich glaub ich hab den dreh raus!
grüße
felix
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Hallo nochmal,
oh weh, da steht ja 1/...
Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Sorry!
Gruß
schachuzipus
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