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| Aufgabe | Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
Bestimmen Sie alle x Element von R, für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren:
[mm] \summe_{n=1}^{unendlich} [/mm] (-1)^(n+1) * [mm] \bruch{(x+2)^n}{5hoch(n+1) unten steht *n}
[/mm]
Ich habe Quotientenkriterium angewendet und jetzt weiss ich nicht was ich weiter machen soll.
Hier das ergebnis was ich soweit raus hab:
[mm] \bruch{( x+2)hoch(n+1)}{5*(n+1)*(x+2)^n} [/mm] |
Ich hab die frage in keinem forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Elektro21 |
Ich habe den Bruch noch en wenig vereinfacht und hab jetzt das stehen:
[mm] \bruch{(x+2)}{5*(n+1)}
[/mm]
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Deine Reihe ist.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \bruch{(x+2)^n}{n*5^{n+1}} [/mm]
Also noch einmal, um die Schritte nachzuvollziehen.
[mm] S:=\summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] sei Summe.
Quotientenkriterium:
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}sup |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
[/mm]
Wenn q<1 dann konvergiert die Reihe absolut.
Also müsstest du den Grenzwert für [mm] n->\infty [/mm] bilden und dann schauen, welche x die Ungleichung erfüllen.
Zusätzlich musst du noch q=1 untersuchen.
Meiner Meinung nach hast du aber einen Fehler bei deinem Bruch. Das n im Zähler fehlt.
[mm] \bruch{n (2 + x)}{5 (1 + n)}
[/mm]
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Das [mm] (x+2)^n [/mm] hat sich bei mir bei der rechnung gekürzt.
Hi ich poste mal meine rechnung als foto wie ich auf den Bruch gekommen bin . ich find nicht meinen Fehler.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Du hast bereits bei deinem ersten Term das n im Zähler vernachlässigt.
Du hast ja zuerst einen Doppelbruch und im Nenner des Hauptbruches hast du ja die ganz normale Folge. Dort tritt das n mit auf.
Tipp: Da es sich bei dem Quotientenkriterium um eine absolute Folge handelt, kannst du auch diese [mm] (-1)^{n+1} [/mm] weglassen. Die musst du also nicht unbedingt kürzen. Die Betragsstriche machen das für dich ;)
Wenn du mit dem n im Zähler weiterrechnest, also die Lösung, die ich oben geschrieben habe, dann stimmt es auch alles.
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Ah richtig. Jetzt merk ich es auch.
Also eigentlich müsste der Bruch jetzt doch gegen unendlich gehen oder. Weil der Zähler ist unendlich und der Nenner auch .
Bin ich jetzt damit fertig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Beträge hast Du vergessen !
Mit Beträgen bekommst Du: [mm] \bruch{|x+2|}{5(n+1)}
[/mm]
Und das treibt was, wenn n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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Das n fehlt trotzdem im Zähler.
Für [mm] n->\infty [/mm] ist nämlich [mm] q=|\bruch{x+2}{5}|
[/mm]
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Hallo leute das q = (2+x)/(5)
ist demnach kleiner 1 also konvergiert die Reihe oder ?
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Jetzt musst du prüfen, für welche x die Ungleichung
[mm] \bruch{|x+2|}{5}<1 [/mm] erfüllt ist. (Fred hatte natürlich Recht, dass die Beträge fehlten)
Dann erhältst du ein Intervall (a,b) und musst noch überprüfen, ob die Reihe für a und b konvergiert oder divergiert (also das a bzw. b in die Reihe als x=a, x=b einsetzen und schauen, ob Konvergenz vorliegt, zu prüfen am besten mit dem Leibnizkriterium). Wenn du das gemacht hast, bist du fertig :)
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Hallo Richie
ähm wenn ich jetzt a einsetze . Dann habe ich :
[mm] \bruch{2+a}{5} [/mm]
[mm] \bruch{2+b}{5}
[/mm]
Aber was mache ich jetzt genau:
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wieder ohne Beträge !
$ [mm] \bruch{|x+2|}{5}<1 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] |x+2|<5
Welche Zahlen x sind das ?
FRED
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So?
a+2 < 5
a < 3
b < 3
Soll ich jetzt die Werte 1 und 2 einsetzen oder wie
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Hallo,
> So?
>
> a+2 < 5
>
> a < 3
>
> b < 3
>
> Soll ich jetzt die Werte 1 und 2 einsetzen oder wie
Nein: du sollst das Intervall ermitteln, welches die Ungleichung erfüllt. Das hält man i.a. für eine leichte Übung für den Fall, dass man sich bereits mit dem Konvergenzradius von Potenzreihen herumschlägt.
Eine Möglichkeit wäre es, für den Inhalt der Betgragsklammer eine Fallunterscheidung durchzuführen, eine andere, in meinen Augen elegantere Möglichkeit würde in diesem Fall darin bestehen, die Ungleichung zu quadrieren und die so entsrandene quadratische Ungleichung durch quadratische Ergämzung zu lösen. Der Vorteil daran ist, dass beim Quadrieren die Betragsklammern obsolet werden:
|x+2|<5 => [mm] (x+2)^2<25
[/mm]
Eine dritte Möglichkeit wäre hier sicherlich auch, die Ungleichung zweimal scharf anzusehen, um die Intervallgrenzen abzulesen. In diesem Kontext darf man das sicherlich tun.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Sa 12.05.2012 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \bruch{|x+2|}{5}<1 [/mm] $ $ [mm] \gdw [/mm] $ |x+2|<5 [mm] \gdw [/mm] -5<x+2<5 [mm] \gdw [/mm] ???
FRED
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Fred hat Recht.
Du musst die Ungleichung lösen, und dann hast du ja ein Intervall. Die Grenzen bilden dann a und b.
Angenommen es kommt -10<x<5 heraus, dann ist a=-10 und b=5. Diese Zahlen setzt du dann in die Reihe ein und schaust, ob die Reihe konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:58 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Diese Reihe erfüllt für alle x aus den reellen Zahlen jeweils ab einer Zahl n0 die Voraussetzungen des Leibnizkriteriums und konvergiert daher immer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:14 So 13.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Diese Reihe erfüllt für alle x aus den reellen Zahlen
Nö, Setz einmal x=10 ein. Das konvergiert nicht.
> jeweils ab einer Zahl n0 die Voraussetzungen des
> Leibnizkriteriums und konvergiert daher immer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:10 Mo 14.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Entschuldigung Richie1401, das war ein Versehen von mir. Es war gestern abend schon sehr spät und ich vermutlich schon müde.
Gruß nobsy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Sowas kommt vor und bedarf doch in der Regel keiner Entschuldigung. Nur bei hartnäckiger Verweigerung von wahren Tatsachen.
Dazu ist schließlich ein Forum da.
Habe einen schönen Abend :)
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