Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 05.12.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Sei A(x)= [mm] \sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k} [/mm] eine Potenzreihe mit den Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] und Konvergenzradius r > 0.
Zeige, dass die Potenzreihen B(x) = [mm] \sum_{k=0}^\infty f_{k}a_{k}x^{k} [/mm] und C(x)= [mm] \sum_{k=0}^\infty \bruch{a_{k}}{f_{k}}x^{k} [/mm] mit [mm] f_{k}=\sum_{i=0}^n p_{i}k^{i}, (p_{i} \in \IC, [/mm] n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] k [mm] \in \IN_{0}, f_{k} \not= [/mm] 0) auch den Konvergenzradius r besitzen. |
Hallo,
ein Dozent hat mir bei dieser Aufgabe den Hinweis gegeben, dass, wenn [mm] |x_{0}| [/mm] < r, dann gibt es ein c > 1, sodass [mm] R(cx_{0}) [/mm] absolut konvergiert. Somit soll ich mit [mm] \sum_{k=0}^\infty \bruch{f_{k}}{c^{k}}a_{k}(cx)^{k} [/mm] und [mm] \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{f_{k} c^{k}}a_{k}(cx)^{k} [/mm] arbeiten. Ich hab aber leider keine Ahnung was mir das bringen soll.
:(
Kann mir jemand helfen.
Vielen Dank und viele Grüße,
petapahn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei A(x)= [mm]\sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k}[/mm] eine Potenzreihe mit
> den Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] und Konvergenzradius r > 0.
> Zeige, dass die Potenzreihen B(x) = [mm]\sum_{k=0}^\infty f_{k}a_{k}x^{k}[/mm]
> und C(x)= [mm]\sum_{k=0}^\infty \bruch{a_{k}}{f_{k}}x^{k}[/mm] mit
> [mm]f_{k}=\sum_{i=0}^n p_{i}k^{i}, (p_{i} \in \IC,[/mm] n [mm]\in \IN_{0},[/mm]
> k [mm]\in \IN_{0}, f_{k} \not=[/mm] 0) auch den Konvergenzradius r
> besitzen.
> Hallo,
> ein Dozent hat mir bei dieser Aufgabe den Hinweis gegeben,
> dass, wenn [mm]|x_{0}|[/mm] < r, dann gibt es ein c > 1, sodass
> [mm]R(cx_{0})[/mm] absolut konvergiert.
Ich kann nur vermuten, was dieser Dozent meint, aber ich glaube, Du hast ihn völlig falsch und unvollständig zititiert.
> Somit soll ich mit
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \bruch{f_{k}}{c^{k}}a_{k}(cx)^{k}[/mm] und
> [mm]\sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{f_{k} c^{k}}a_{k}(cx)^{k}[/mm]
> arbeiten. Ich hab aber leider keine Ahnung was mir das
> bringen soll.
Ich würde das anders machen:
Zeige: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|f_k|}=1
[/mm]
FRED
> :(
> Kann mir jemand helfen.
> Vielen Dank und viele Grüße,
> petapahn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 05.12.2012 | | Autor: | petapahn |
Aber [mm] f_{k} [/mm] ist ja eine Reihe und keine Folge.
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|f_k|}= [/mm] $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\sum_{i=0}^{n} p_{i}k^{i}|}
[/mm]
Also wenn das [mm] f_{k} [/mm] eine Folge wäre, wärs klar dass [mm] f_{k} [/mm] bei k --> [mm] \infty [/mm] gegen 1 geht.
Aber bei einer Reihe geht das doch gar nicht so, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber [mm]f_{k}[/mm] ist ja eine Reihe und keine Folge.
Was soll das ?
Mit festem (!) n [mm] \in \IN_0 [/mm] und komplexen Zahlen [mm] p_0p_1,...,p_n [/mm] setzen wir
[mm] f(z)=\summe_{j=1}^{n}p_jz^j
[/mm]
Dann ist [mm] f_k=f(k) [/mm] für k [mm] \in \IN_0
[/mm]
Damit ist [mm] (f_k) [/mm] eine ganz prima und tadllose Folge !
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|f_k|}=[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\sum_{i=0}^{n} p_{i}k^{i}|}[/mm]
>
> Also wenn das [mm]f_{k}[/mm] eine Folge wäre, wärs klar dass [mm]f_{k}[/mm]
> bei k --> [mm]\infty[/mm] gegen 1 geht.
Was ist los ? . Das ist doch völliger Quatsch !
FRED
> Aber bei einer Reihe geht das doch gar nicht so, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Mi 05.12.2012 | | Autor: | petapahn |
oh richtig..ich stand grad auf der Leitung.
Vielen Dank. :)
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