Potenzreihen Verständnis-Prob. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
ich hab gerade noch ein Verständnis-Problem mit Potenzreihen:
Wenn ich eine Funktion um einem Punkt in eine Potenzreihe entwickle, kann ich ja auch den Konvergenzradius der Reihe um diesen Punkt bestimmen.
Aber was bedeutet das eigentlich genau?
Ich mein es ist ja schön, dass die Reihe für einige Werte konvergiert und für andere divergiert, aber was bringt mir das? Kann man sich da irgendwas drunter vorstellen? Bzw. kann man damit dann irgendwas anfangen, wenn man weiß für welche Werte sie konvergiert und für welche nicht?
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 01.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jonas,
die Konvergenzaussage zur Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe ist insofern wichtig, da Du dadurch eine Aussage bekommst, in welchem Wertebereich Du diese Funktion durch eine Potenzreihe gleichwertig beschreiben kannst. Ist der Abstand zwischem dem Entwicklungspunkt Deiner Reihe und dem eingesetzten Variablenwert zu groß, kann es passieren, dass die Reihendarstellung nicht mehr sich der Funktion annähert. Eine Gleichwertigkeit zwischen Funktion und Potenzreihendarstellung ist dann nicht mehr gegeben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 02.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke, ich glaub jetzt hab ich's verstanden.
Und kann es sein, dass der Konvergenzradius gerade so groß ist, wie der Radius eines Kreises um den entwickelten Punkt, in dem die Funktion noch holomorph ist?
Also wenn ich jetzt eine Funktion hab die im Punkt z = 3 nicht holomorph ist und ich sie um den Punkt 1 in eine Potenzreihe entwickle, dass sie dann den Konvergenzradius 2 hat?
Und wenn ich jetzt z.B. einen Wert zwischen 1 und < 3 in die Reihe einsetzen würde, würde ich den korrekten Funktionswert erhalten, nur wenn ich einen Wert > 3 bzw. < -1 einsetze (bzw. im Komplexen halt außerhalb der Kreisscheibe), erhalte ich [mm] \infty [/mm] , also keinen "gültigen" Wert?
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 02.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonez,
> Und kann es sein, dass der Konvergenzradius gerade so groß
> ist, wie der Radius eines Kreises um den entwickelten
> Punkt, in dem die Funktion noch holomorph ist?
> Also wenn ich jetzt eine Funktion hab die im Punkt z = 3
> nicht holomorph ist und ich sie um den Punkt 1 in eine
> Potenzreihe entwickle, dass sie dann den Konvergenzradius 2
> hat?
Das ist so. Der Konvergenzradius ist so groß wie der Abstand vom Entwicklungspunkt zur nächstgelegenen Singularität.
> Und wenn ich jetzt z.B. einen Wert zwischen 1 und < 3 in
> die Reihe einsetzen würde, würde ich den korrekten
> Funktionswert erhalten, nur wenn ich einen Wert > 3 bzw. <
> -1 einsetze (bzw. im Komplexen halt außerhalb der
> Kreisscheibe), erhalte ich [mm]\infty[/mm] , also keinen "gültigen"
> Wert?
Ich glaube nicht, dass es in jedem Fall [mm]\infty[/mm] sein muss. Das wäre ja auch eine Art von Konvergenz.
Grüße
Rainer
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Wenn du eine Funktion in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r entwickeln kannst, bedeutet dies, das irgendwo auf dem Rand des Konvergenzkreises - und nicht näher - mindestens 1 Punkt liegt, auf dem der Wert unendlich wird. In alle anderen "Richtungen" könnte die Reihe also weiter konvergieren.
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Noch eine nette Geschichte, die die Bedeutung des Konvergenzradius' erhellt. Habe ich mir ausgedacht und einem Kollgen erzählt:
<< Der Mathematiker sagt sagt zu seiner Frau: "Ich fahre noch mal eben mit dem Fahrrad in die Kneipe ein Bier trinken." Seine Frau - auch Mathematikerin - ist misstrauisch geworden, weil das in letzter Zeit so oft vorgekommen ist. Sie macht ein Foto von dem ersten Meter der Fahrradspur, scannt es ein und analysiert es, indem sie das Foto mit ihrem Supercomputer auf die ersten 500 Ableitungen ansetzt. Die berechnete Potenzreihe ergibt den Graphen, den sie auf den Stadtplan von Xhausen legt, und siehe da: Die Spur führt in die Garage einer Jugendfreundin ihres Mannes. So verrät also der Graph mit genügend vielen Ableitungen in nur einem Punkt den Weg. >>
Ich fand die Geschichte genial. Aber mein Kollege setzte spontan einen drauf: "Das bedeutet, dass man sich eine Freundin anschaffen muss, die außerhalb des Konvergenzradius' liegt!" Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Wenn du eine Funktion in eine Potenzreihe mit
> Konvergenzradius r entwickeln kannst, bedeutet dies, das
> irgendwo auf dem Rand des Konvergenzkreises - und nicht
> näher - mindestens 1 Punkt liegt, auf dem der Wert
> unendlich wird. In alle anderen "Richtungen" könnte die
> Reihe also weiter konvergieren.
Um dies klarzustellen: die Funktion hat auf dem Rand des Konvergenzkreises eine Singularität (bei einer wesentlichen Singularität wird der Wert nicht unendlich). Die Reihe kann trotzdem auf dem Rand konvergieren.
Die Reihe
[mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{z^n}{n^2}[/mm]
konvergiert auf dem gesamten Rand des Konvergenzkreises [mm]|z|=1[/mm]. Sie stellt aber die Funktion
[mm]\integral - \bruch{\ln(1-z)}{z} dz = - \ln z \ln(1-z) - \mathrm{Li}_2(1-z)[/mm]
bei [mm]z=1[/mm] nicht dar, denn diese hat dort eine wesentliche Singularität.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke für die Antworten. Jetzt sollte es wirklich klar sein :)
Jonas
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Hallo,
ein wohlbekanntes Beispiel:
[mm] f(x):=\bruch{1}{1-x}, x\not=1,
[/mm]
läßt sich schreiben als [mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\infty}x^i [/mm] - aber nur für |x|<1.
f(5) kann man so nicht ausrechnen.
Gruß v. Angela
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