Potenzreihen / erzeugende Fkt. < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 08.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
Hallo Leute,
haben nun ein super tolles thema, verstehe so gut wie nichts und google kann mir da leider überhaupt nicht weiterhelfen :(
Die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
Geben Sie für die angegebenen Folgen jeweils die erzeugende Funktion (als geschlossener Ausdruck!) an
a) 0, 0, 0, 6, -6, 6, -6, 6, -6,....
b) 0, 0, 1, a, a², a³, ... (a!=0)
Bisher hatte ich nur die Ehre, die geometrische Reihe kennenzulernen (nicht wirklich kapiert):
1+ x² + x³ + ... = 1 / (1-x)
Im prinzip lässt sich diese Reihe doch einfach umformen!? Wie kommt das 1 / (1-x) zustande?!
Hoffentlich ich frage hier (gerade als Neuling) nicht zu viel und hoffe, die ein oder andere Antwort zu erhalten!
nebenbei: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Do 08.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst einfach nur das n-te Glied angeben.
Bsp 1,-1,1,-1,1,-1..... usw. wäre [mm] a_n=(-1)^n [/mm] n=0,1,...
Bsp . 0,0,0,0,1,-1,1,-1... [mm] a_n=0 [/mm] für [mm] n\le3, a_n=(-1)^n [/mm] für n>3
was dein a!=0 bedeuten soll weiss ich nicht.
Achte noch darauf, ob ihr die Numerierung mit 0 oder 1 anfangt. (ich hab mit 0 angefangen.
zur geometrischen Reihe die nur 1/1-x gibt , wenn x<1 und du bis [mm] \infty [/mm] summierst.
Was meinst du damit "lässt sich einfach umformen" Was für ne genaue Frage hast du dazu.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 09.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
hi leduart,
ich wär froh, wenn ich nur ansatzweise das verstehen würde was du da geschrieben hast :) ich bin noch absoluter neuling auf dem gebiet und total verwirrt...
was die geometrische reihe betrifft:
wie lässt sich aus (1 + x + x² + x³....) das hier 1 / (1-x) herleiten?!
ich mein, die reihe ist doch unendlich, wie kann diese nun so zusammengefasst werden?! ich bin da immer noch hinterher und setzte für x werte ein, um da irgendeinen zusammenhang zu finden ;) aber ich glaube das scheint hier absolut falsch zu sein!
ich dank dir schonmal für deine antwort und deine mühe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo brasco!
Diese Formel von leduart ist schon richtig, wie Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst.
Es gibt tatsächlich eine Einschränkung: es muss $|x| \ < \ 1$ bzw. $|q| \ < \ 1$ gelten.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 09.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo brasco
du solltest mit zitieren einen Artikel, den du nicht verstehst kopieren, und dann an den einzelnen Stellen nachfragen, was dir unklar ist.
Zur geometrischen Reihe: Das ist einfach ein wunderschöner Trick:
Nimm: [mm] S_n=1+x+x^2+x^3+.....+x^n
[/mm]
das multipliziere mit x
[mm] x*s_n= x+x^2+x^3+x^3+.....x^{n+1}
[/mm]
jetzt subtrahiere die beiden:
[mm] S_n-x*S_n=S_n*(1-x) =1+0+0+0.....+0-x^{n+1}
[/mm]
also hast du [mm] S_n*(1-x)=1-x^{n+1}
[/mm]
daraus [mm] S_n=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
die Formel gilt für alle x, egal wie gross sie sind.
Wenn aber jetz x<1 ist dann wird [mm] x^{n+1} [/mm] immer kleiner, je größer n ist. d.h. der Unterschied zwischen [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] und [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] wird beliebig klein. Dann sagt man der Bruch ist für ngegen [mm] \infty [/mm] gleich [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Wenn du das nicht verstehst, frag bitte gezielt nach! Nur durch fragen, und die Antworten ne Weile überdenken kommt man weiter.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 10.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
Hi leduart,
danke für deine tolle erklärung!! vom aufbau her hab ich das ganze verstanden.
jetzt nur nochmal was zum klarstellen bzgl. diesem hier:
> Nimm: [mm]S_n=1+x+x^2+x^3+.....+x^n[/mm]
> das multipliziere mit x
> [mm]x*s_n= x+x^2+x^3+x^3+.....x^{n+1}[/mm]
> jetzt subtrahiere die
> beiden:
> [mm]S_n-x*S_n=S_n*(1-x) =1+0+0+0.....+0-x^{n+1}[/mm]
> also hast du
> [mm]S_n*(1-x)=1-x^{n+1}[/mm]
> daraus [mm]S_n=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> die Formel gilt für alle x, egal wie gross sie sind.
das ist ja jetzt die geometrische reihe für 1 + x + x² + x³..... nehm ich denn nun jede andere reihe auch mal x und teile dann durch [mm] S_n?!
[/mm]
Wir würde ich denn jetzt bspw. die Reihe für meine Aufgabe aufstellen, also 0,0,0,6,-6,6,-6,6,-6,... dort müsste doch nun der exponent immer gleich (also hoch 1) bleiben, oder!?
erstmal mega vielen dank, ich komme der ganzen sache schon etwas näher :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ja, diese Formel kannst du für jede gemometrische Reihe anwenden, so dass du letztendlich in die Formel einsetzen kannst.
[mm] S_n=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
Ist allgemein anwendbar; falls du für x < 1 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] bilden willst, so kannst du es auch in die Formel
[mm] S_n=\bruch{1}{1-x} [/mm]
einsetzen.
Und nein, der Exponent bleibt nicht immer gleich; dir wurde doch bereits ein Ansatz geliefert, den du nur noch vervollständigen musst:
f(x) = [mm] \sum_{n=3}^\infty 6(-1)^{n+1}x^n [/mm] = [mm] -6\sum_{n=0}^\infty [/mm] ... + [mm] \sum_{n=0}^2...
[/mm]
Lg
PS: habe mich zwar nur privat hiermit ein wenig beschäftigt; hoffe aber, dass ich trotzdem (korrekt) behilflich sein konnte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 10.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Brasco
Leider funktioniert dieser Trick nur für die geometrische Reihe!
Dann gibts noch einen für die arithmetische Reihe, das ist die, wo jedes Glied immer um dieselbe differenz grösser wird. also z. Bsp
[mm] S_n=1+2+3+.....+n
[/mm]
oder [mm] S_n=5+8+11+14+(5+(4*3))+....+(5+n*3)
[/mm]
da schreibt man die Reihe rückwärts drunter:
[mm] S_n= [/mm] 1+ 2+ 3+ 4+....+n
[mm] S_N= [/mm] n+(n-1)+(n-2)+......+1
dann adiert man die 2 und hat
[mm] 2*S_n=n*(n+1) [/mm] oder [mm] S_n=n*(n+1)/2
[/mm]
mach zur Übung dasselbe mit der Zeiten Reihe. da kannst du auch gleich allgemein
a und d nehmen also a+(a+d)+(a+2d)+.....+(a*n*d)
Bei jeder anderen Reihe musst du selbst versuchen nen "Trick" zu finden! oft findet man ihn indem man die ersten paar Dinger aufaddiert.
Wenn du 0,0,0,6,-6,6,-6,6,-6,... aufaddierst siehst du sofort: für n<3 [mm] S_n=0dann S_3=6 S_4=0 S_5=6 [/mm] usw.
also für gerade n ist [mm] S_n=6 [/mm] für ungerade ist [mm] S_n=0
[/mm]
Das schreibt man dann:
[mm] S_{2n}=6 S_{2n+1}=0 [/mm] für alle n>2
Aber das sind ie Summen, ich dachte, du sollst nur das Gesetz für die Folgen hinschreiben.
Das stellst du dir so vor: du schreibst ein Gesetz hin, und musst überzeugt sein, dass dann jeder daraus sofort das 173-te Glied ausrechnen kann oder das 10001 te usw. Dann hast du die "Funktionsvorschrift"
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 11.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
Hi leduart,
danke erstmal für deine antwort! ich hab nich ganz verstanden was du mir bzgl meiner aufgabe erklären wolltest :)
> Wenn du 0,0,0,6,-6,6,-6,6,-6,... aufaddierst siehst du
> sofort: für n<3 [mm]S_n=0dann S_3=6 S_4=0 S_5=6[/mm] usw.
> also für gerade n ist [mm]S_n=6[/mm] für ungerade ist [mm]S_n=0[/mm]
> Das schreibt man dann:
> [mm]S_{2n}=6 S_{2n+1}=0[/mm] für alle n>2
Wenn ich jetzt die reihe für diese zahlen aufstellen soll, beginne ich doch jetz sozusagen erst bei x³, oder?! Die erst 3 Zahlen sind ja null, die doch dann duch 1 + x + x² repräsentiert werden!? Wobei sich jetzt für mich noch die Frage stellt, die Zahlen steigen ja nicht an, deswegen müsste doch der exponent immer gleich bleiben, oder!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 11.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zurück zu deiner Aufgabe!
Du musst zwischen Folgen und Reihen erstmal unterscheiden.
die Folge 0,0,0,6,-6 usw ist eine Folge!
Deine Aufgabe war dafür ne Vorschrift (Funktion zu finden.
Allgemein schreibt man ne Folge als [mm] a_0,a_1,a_2,.....
[/mm]
du sollst also hinschreiben [mm] a_n=.... [/mm] z.Bsp [mm] a_3=6 a_5=6 a_{20}=-6, [/mm] deine Aufgabe ist jetzt das allgemein hinzuschreiben [mm] a_n=... [/mm] für n=...
ebenso mit der zweiten Folge.
damit ist deine Aufgabe beendet, so wie du sie oben angegeben hast.
Jetzt gibt es noch Summen von Folgen, EIN BEISPIEL dazu ist die geometrische Reihe, aber eben nur ein Beispiel.
die Folge ist [mm] 1,x,x^2,x^3,.... [/mm] das Gesetz für die geometrische FOLGE ist [mm] a_n=x^n
[/mm]
Dann kann man die Summe der Folgenglieder nehmen und ne Neue Folge davon herstellen [mm] S_0=x^0 ,S_1=1+x^1; S_2=1+x+x^2,
[/mm]
das allgemeine Gesetz für diese FOLGE ist [mm] a_n=\summe_{i=0}^{n}x^n
[/mm]
Wenn die Summe bis unendlich geht spricht man dann von einer (unendlichen) Reihe. (manche Leute nennen auch schon die Summe bis n eine Reihe, das ist aber unüblich.)
Deine Folgen sind erstmal nur Folgen, es wurde in der Aufgabe nicht von Summen, oder Reihen gesprochen. insbesondere haben sie nichts mit der geometrischen Reihe oder Folge zu tun:
Nur weil du nach Summenformeln für Reihen gefragt hast, hab ich dir das erklärt.
Dein Satz, dass du erstmal bei [mm] x^3 [/mm] beginnst ist also sinnlos!
Was du sagen musst ist: für [mm] n\le3 [/mm] ist [mm] a_n=0 [/mm] für n>3 schreibst du die Vorschrift, die du gefunden hast hin!
Jetz klarer?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
in seinem ersten post schreibt brasco2k: "Geben Sie für die angegebenen Folgen jeweils die erzeugende Funktion (als geschlossener Ausdruck!) an". ich kenne als erzeugend funktion das was ich in meiner antwort angegeben habe (auf diese deutung deutet auch das ständige auftreten der geometrischen reihe in diesem thread hin). da es da wohl etwas verwirrung wegen dieser bezeichnung gibt, wäre es gut, wenn der fragesteller mal seine definition von erzeugender funktion angeben würde!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich vermute mit erzeugende funktion zu einer folge [mm] $(a_n)$ [/mm] ist eine funktion $f$ gemeint mit $f(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$. [/mm] schreibe dazu am besten mal eure definition auf, sonst reden wir hier ständig aneinander vorbei...
die erste folge $0, 0, 0, 6, -6, 6, -6, 6, -6,.... $ sieht ja schon ziemlich nach den summanden einer geometrischen reihe $1, 1, 1, 1, ...$ aus - außer eben ein paar summanden am anfang und dass es wohl mit [mm] $6(-1)^{n + 1}$ [/mm] durchmultipliziert wurde. es ist ja dann (sofern meine vermutung über die erzeugende funktion oben richtig ist): $f(x) = [mm] \sum_{n=3}^\infty 6(-1)^{n+1}x^n [/mm] = [mm] -6\sum_{n=0}^\infty [/mm] ... + [mm] \sum_{n=0}^2...$, [/mm] wobei die punkte entsprechend ergänzt werden müssen. dann solltest du vorne etwas haben, was du ausrechnen kannst und hinten steht nur ein polynom. wenn du dies fertig berechnest solltest du wie gewünscht einen geschlossenen ausdruck erhalten.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 11.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
hallo andreas,
ich schreib hier mal folgende definition auf:
Die erzeugende Funktion einer Folge von reellen Zahlen a0,
a1, a2, ... wird definiert als die (formale) Potenzreihe
[mm]f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n[/mm]
Also eigentlich das gleiche was ihr so geschrieben habt... aber kann es sein dass wir verschiedene zusammenhänge zwischen erzeugenden funktionen und folgen sehen (oder ich blöd bin ;) !?
Ich kann mich noch an ein beispiel erinnern: da ging es darum, die möglichkeiten zu berechnen, beträge in 1 oder 2 cent stücken zu bezahlen. zuerst wurde die folge aufgeschrieben:
Für 1-Cent-Münzen verwendeten wir die Reihe
1 + x + x² + x³ + ...
Für 2-Cent-Münzen verwenden wir die Reihe
1 + x² + x²² + x²²² + ...
//da war mir schon unklar, wie die auf die reihen gekommen sind... Man schaut doch wirklich nur auf die exponenten, oder!?
Daraus ergab sich dann:
(1 + x + x² + x³ + ...) (1 + x² + x²²+ x²²² + ...) = 1 / ((1-x)(1-x²))
//kein kommentar...
Dann die Partialbruchzerlegung, die ich glücklicherweise verstanden habe ...
(1- x)(1+ x)a + (1+ x)b +(1+ x)² c=1
Nach dem Koeffizientenvergleich ergaben sich dann a,b,c...
Und letztendlich erhielten wir die Reihe:
¼(1 + x + x² + x³ + x²² + ...) +
¼(1 - x + x² - x³ + x²² -+ ...) +
½(1 + 2x + 3x² + 4x³ +...)
und letztendlich (also wie man von dem einen auf das jetzt hier kommt, is mir auch ein rätsel):
an = ½(n+2), wenn n gerade und
an = ½(n+1), wenn n ungerade
Ja, also das war ein beispiel... wenn ich das komplett nachvollziehen könnte wäre ich glücklich :) aber meine aufgaben sollten eigentlich genauso lösbar sein...
vielen lieben dank erstmal an euch beide für die mühe!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 11.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne auf deine Pfennigreihe einzugehen, ind der wohl nich [mm] x^{22} [/mm] sondern [mm] (x^2)^2 [/mm] usw. steht.
Andreas hat dir ja schon geschrieben wie du deine Reihe mit den 6 en aufschreiben musst um sie richtig zu schreiben. Versuchs jetz mal mit der Anleitung.
Tut mir leid, wenn ich es falsch verstanden hab, aber die [mm] a_n [/mm] sind ja schon richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 12.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
hi leduart,
ich versuche es mal...
also:
Wenn die Reihe jetzt 0, 0, 6, -6, 6,... ist, dann ist [mm]S_n=0*1+0*x+0*x^2+6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] was gleich
[mm]S_n=6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] ist.
> das multipliziere mit x
> [mm]x*s_n= x+x^2+x^3+x^3+.....x^{n+1}[/mm]
> jetzt subtrahiere die
> beiden:
> [mm]S_n-x*S_n=S_n*(1-x) =1+0+0+0.....+0-x^{n+1}[/mm]
> also hast du
> [mm]S_n*(1-x)=1-x^{n+1}[/mm]
> daraus [mm]S_n=\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
> die Formel gilt für alle x, egal wie gross sie sind.
So, wenn ich das jetzt hier anwende, bekomme ich:
[mm]x*s_n=6*x^4+(-6)*x^5.....+(-6)x^{n+1}[/mm]
und nun [mm]S_n[/mm] und [mm]s_n[/mm] subtrahiere (oder addieren?! beim subtrahieren fällt ja gar nix weg wegen dem vorzeichenwechsel?!):
[mm]S_n*x+s_n = S_n*(1-x) = 6x^3 + 0 + 0 + 0 + ..... + (-6^m + 6x^{n+1})[/mm]
kommt das denn hin!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 12.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo brasco
> Wenn die Reihe jetzt 0, 0, 6, -6, 6,... ist, dann ist
Das ist nicht die Reihe, sondern die Folge der [mm] a_n [/mm] der Reihe.
> [mm]S_n=0*1+0*x+0*x^2+6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] was gleich
> [mm]S_n=6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] ist.
Die Teilsumme bis n ist richtig. falls n gerade, sonst ist das letzte [mm] +6*x^n!
[/mm]
Du musst also ne Fallunterscheidung machen
>
>
> So, wenn ich das jetzt hier anwende, bekomme ich:
> [mm]x*s_n=6*x^4+(-6)*x^5.....+(-6)x^{n+1}[/mm]
fast richtig, ob du bei -6 oder +6 beim letzten landest hängt davon ab, ob n gerade oder ungerade ist.
> und nun [mm]S_n[/mm] und [mm]s_n[/mm] subtrahiere (oder addieren?! beim
> subtrahieren fällt ja gar nix weg wegen dem
> vorzeichenwechsel?!):
> [mm]S_n*x+s_n = S_n*(1-x) = 6x^3 + 0 + 0 + 0 + ..... + (-6^m + 6x^{n+1})[/mm]
>
>
> kommt das denn hin!?
Ja, wenn du noch zwischen n gerade und n ungerade unterscheidest.
und das letzte Glied dadurch unterscheidest.
aber ich hab deine Aufgabe so verstanden, dass du nur [mm] a_n [/mm] hinschreiben musst, bzw. die Summe [mm] S_n [/mm] allgemein, dabei zwischen n gerade und n ungerade unterscheiden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 12.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
Hallo leduart,
ja stimmt das ist die folge, nicht die reihe..
> > [mm]S_n=0*1+0*x+0*x^2+6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] was
> gleich
> > [mm]S_n=6*x^3+(-6)*x^4.....+(-6)x^n[/mm] ist.
> Die Teilsumme bis n ist richtig. falls n gerade, sonst ist
> das letzte [mm]+6*x^n![/mm]
> Du musst also ne Fallunterscheidung machen
> >
kann ich mir die fallunterscheidung nicht sparen, wenn ich als letztes glied [mm](-6x^n)[/mm]schreibe?! dann liegt es ja ausschließlich am exponenten (gerade oder ungerade).
Dann müsste ich doch so hinkommen:
> > [mm]S_n*x+s_n = S_n*(1-x) = 6x^3 + 0 + 0 + 0 + ..... + (-6x^n + 6x^{n+1})[/mm]
und daraus nun irgendwie die erzeugende funktion, richtig!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 12.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du kannst dir die Fallunterscheidung nicht sparen. dein vorletztes Glied fällt weg !
Ich bin für heute weg, vielleicht hilft jemand anders weiter
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Di 13.05.2008 | | Autor: | brasco2k |
hi leduart,
also ich hab mal bei ein paar leuten nachgehackt, die lösung schien irgendwie schonmal rumgegangen zu sein (aber den lösungsweg hat keiner ;((
also, die lösung ist einfach nur
[mm]6*x^3/(1-x)[/mm]
zufällig eine idee?! :)
|
|
|
|
