Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung von
[mm]y''-4xy'+(4x^2-2)y=0[/mm]
mittels Potenzreihenansatz. |
Gutentag,
ich würde die Aufgabe gerne mit dem Potenzreihenansatz nach Frobenius lösen. Fall es mir jemand mit dem normalen Ansatz [mm] y(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n}, [/mm] der hier ja auch funktionieren müsste erklären kann, wäre mir wahrscheinlich auch schon geholfen.
[mm] y(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s}
[/mm]
[mm] y'(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*x^{n+s-1}
[/mm]
[mm] y''(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*(n+s-1)*x^{n+s-2}
[/mm]
Eingesetzt in die DGL ergibt sich:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*(n+s-1)*x^{n+s-2}-4*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*x^{n+s}+4*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s+2}-2*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s}=0
[/mm]
Jetzt muss man dass ja alles irgendwie unter eine Summe kriegen um dann die Rekursionsformel herzuleiten. Und genau da liegt mein Problem. Bei den Beispielen, die ich sonst hatte ging das immer recht einfach durch das Umindizieren einer Summe. Hier aber müsste ich mehrere Sachen umbenennen und dann hätte ich in meiner Rekursionsformel [mm] c_{n-2} [/mm] und [mm] c_{n+2} [/mm] und [mm] c_{n}. [/mm] Da muss also irgendetwas faul sein.
Vielen Dank im Voraus!
mfg,
blacky
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Hallo Blacky,
> Bestimmen sie die Lösung von
>
> [mm]y''-4xy'+(4x^2-2)y=0[/mm]
>
> mittels Potenzreihenansatz.
> Gutentag,
>
> ich würde die Aufgabe gerne mit dem Potenzreihenansatz nach
> Frobenius lösen. Fall es mir jemand mit dem normalen Ansatz
> [mm]y(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n},[/mm] der hier ja auch
> funktionieren müsste erklären kann, wäre mir wahrscheinlich
> auch schon geholfen.
>
>
> [mm]y(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s}[/mm]
>
> [mm]y'(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*x^{n+s-1}[/mm]
>
> [mm]y''(x)=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*(n+s-1)*x^{n+s-2}[/mm]
>
> Eingesetzt in die DGL ergibt sich:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*(n+s-1)*x^{n+s-2}-4*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*(n+s)*x^{n+s}+4*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s+2}-2*\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}*x^{n+s}=0[/mm]
>
> Jetzt muss man dass ja alles irgendwie unter eine Summe
> kriegen um dann die Rekursionsformel herzuleiten. Und genau
> da liegt mein Problem. Bei den Beispielen, die ich sonst
> hatte ging das immer recht einfach durch das Umindizieren
> einer Summe. Hier aber müsste ich mehrere Sachen umbenennen
> und dann hätte ich in meiner Rekursionsformel [mm]c_{n-2}[/mm] und
> [mm]c_{n+2}[/mm] und [mm]c_{n}.[/mm] Da muss also irgendetwas faul sein.
Das ist aber nichts faul.
Führe die Umindizierung durch und dann mußt Du gegebenenfalls eine Fallunterscheidung nach den Indizes machen.
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> Vielen Dank im Voraus!
>
> mfg,
>
> blacky
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 06.07.2008 | | Autor: | Blacky |
Ok, dann würde ich es so machen, dass ich die summen mit x^(n+s+2) und x^(n+s-2) auf x^(n+s) bringe, da das schon zweimal vorhanden ist.
[mm] \summe_{n=-2}^{\infty} c_{n+2}\cdot{}(n+2+s)\cdot{}(n+1+s)\cdot{}x^{n+s}-4\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}\cdot{}(n+s)\cdot{}x^{n+s}+4\cdot{}\summe_{n=2}^{\infty} c_{n-2}\cdot{}x^{n+s}-2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}\cdot{}x^{n+s}=0
[/mm]
Nur jetzt muss ich ja noch einen gemeinsamen Indexbeginn herbeiführen. Da müsste ich ja nun von den beiden Summen, die bei 0 beginnen jeweils 2 Summanden explizit hinschreiben und von der Summe, die bei -2 beginnt 4 Summanden explizit hinschreiben, damit alle bei n=2 starten können?
Also so:
[mm] c_{0}*s*(s-1)*x^{s-2}+c_{1}*(s+1)*s*x^{s-1}+c_{2}*(s+2)*(s+1)*x^s+c_{3}*(s+3)*(s+2)*x^{s+1}
[/mm]
[mm] -4*(c_{0}*s*x^s+c_{1}*(s+1)*x^{s+1})
[/mm]
[mm] -2*(c_{0}*x^s+c_{1}*x^{s+1})
[/mm]
[mm] +\summe_{n=2}^{\infty}[c_{n+2}\cdot{}(n+2+s)\cdot{}(n+1+s)-4*c_{n}\cdot{}(n+s)+4*c_{n-2}-2*c_{n}]*x^{n+s}
[/mm]
Aus der letzten Summe würde nun also die Rekursionsformel folgen?
Ist das denn bis jetzt so richtig ausgeführt? Und wonach müsste ich die rekursionsformel jetzt auflösen? nach [mm] c_{n},c_{n+2} [/mm] oder [mm] c_{n-2}? [/mm] Bzw. welche Unterscheidungen sind nötig? Hatte so ein Beispiel leider noch nie!
lg, blacky
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Hallo Blacky,
> Ok, dann würde ich es so machen, dass ich die summen mit
> x^(n+s+2) und x^(n+s-2) auf x^(n+s) bringe, da das schon
> zweimal vorhanden ist.
>
>
> [mm]\summe_{n=-2}^{\infty} c_{n+2}\cdot{}(n+2+s)\cdot{}(n+1+s)\cdot{}x^{n+s}-4\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}\cdot{}(n+s)\cdot{}x^{n+s}+4\cdot{}\summe_{n=2}^{\infty} c_{n-2}\cdot{}x^{n+s}-2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}\cdot{}x^{n+s}=0[/mm]
>
> Nur jetzt muss ich ja noch einen gemeinsamen Indexbeginn
> herbeiführen. Da müsste ich ja nun von den beiden Summen,
> die bei 0 beginnen jeweils 2 Summanden explizit
> hinschreiben und von der Summe, die bei -2 beginnt 4
> Summanden explizit hinschreiben, damit alle bei n=2 starten
> können?
Ja.
>
> Also so:
>
> [mm]c_{0}*s*(s-1)*x^{s-2}+c_{1}*(s+1)*s*x^{s-1}+c_{2}*(s+2)*(s+1)*x^s+c_{3}*(s+3)*(s+2)*x^{s+1}[/mm]
> [mm]-4*(c_{0}*s*x^s+c_{1}*(s+1)*x^{s+1})[/mm]
> [mm]-2*(c_{0}*x^s+c_{1}*x^{s+1})[/mm]
>
> [mm]+\summe_{n=2}^{\infty}[c_{n+2}\cdot{}(n+2+s)\cdot{}(n+1+s)-4*c_{n}\cdot{}(n+s)+4*c_{n-2}-2*c_{n}]*x^{n+s}[/mm]
>
> Aus der letzten Summe würde nun also die Rekursionsformel
> folgen?
Ja.
>
> Ist das denn bis jetzt so richtig ausgeführt? Und wonach
> müsste ich die rekursionsformel jetzt auflösen? nach
> [mm]c_{n},c_{n+2}[/mm] oder [mm]c_{n-2}?[/mm] Bzw. welche Unterscheidungen
> sind nötig? Hatte so ein Beispiel leider noch nie!
Die Rekursionsformel bekommst Du, wenn Du nach dem höchsten Index auflöst, also nach [mm]c_{n+2}[/mm].
Bei einer DGL zweiter Odnung gibt es 2 Anfangsbedingungen, das heisst, es sind in der Regel die Koeffizienten [mm]c_{0}[/mm] und [mm]c_{1}[/mm] vorgegeben.
Da sich aus der Rekursionsformel erst der Koeffizient [mm]c_{4}[/mm] bestimmen läßt, ist noch eine Formel zu finden, aus der sich die Koeffizienten [mm]c_{2}[/mm] bzw. [mm]c_{3}[/mm] bestimmen lassen.
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> lg, blacky
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 06.07.2008 | | Autor: | Blacky |
Ok, schonmal vielen Dank mathepower. Da habe ich mir wohl unglücklicherweise einen harten Brocken als Aufgabe ausgesucht :D
Die Rekursionsformel sieht nun so aus:
[mm] c_{n+2}=\bruch{c_{n}*(4*(n+s)+2)-4*c_{n-2}}{(n+2+s)*(n+1+s)}
[/mm]
Die ersten Gleichungen habe ich nun so aufgeschrieben:
[mm] c_{0}*s*(s-1)*x^{s-2}
[/mm]
[mm] +c_{1}*s*(s+1)*x^{s-1}
[/mm]
[mm] +[c_{2}*(s+2)*(s+1)-4*c_{0}*s-2*c_{0}]*x^s
[/mm]
[mm] +[c_{3}*(s+3)*(s+2)-4*c_{1}*(s+1)-2*c_{1}]*x^{s+1}
[/mm]
Kann ich nun daraus folgern, dass
[mm] c_{2}=\bruch{4*c_{0}*s+2*c_{0}}{(s+2)*(s+1)}
[/mm]
und
[mm] c_{3}=\bruch{4*c_{1}*(s+1)+2*c_{1}}{(s+3)*(s+2)}
[/mm]
?
Und darf ich also nun s=0 v s=1 wählen? Das kommt aus der allerersten Gleichung. Eine andere Möglichkeit wäre demnach s=0 v s=-1 (aus Gleichung 2)?
gruß,
christoph
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Hallo Blacky,
> Ok, schonmal vielen Dank mathepower. Da habe ich mir wohl
> unglücklicherweise einen harten Brocken als Aufgabe
> ausgesucht :D
>
> Die Rekursionsformel sieht nun so aus:
>
> [mm]c_{n+2}=\bruch{c_{n}*(4*(n+s)+2)-4*c_{n-2}}{(n+2+s)*(n+1+s)}[/mm]
>
> Die ersten Gleichungen habe ich nun so aufgeschrieben:
>
> [mm]c_{0}*s*(s-1)*x^{s-2}[/mm]
> [mm]+c_{1}*s*(s+1)*x^{s-1}[/mm]
> [mm]+[c_{2}*(s+2)*(s+1)-4*c_{0}*s-2*c_{0}]*x^s[/mm]
> [mm]+[c_{3}*(s+3)*(s+2)-4*c_{1}*(s+1)-2*c_{1}]*x^{s+1}[/mm]
>
> Kann ich nun daraus folgern, dass
>
> [mm]c_{2}=\bruch{4*c_{0}*s+2*c_{0}}{(s+2)*(s+1)}[/mm]
>
> und
>
> [mm]c_{3}=\bruch{4*c_{1}*(s+1)+2*c_{1}}{(s+3)*(s+2)}[/mm]
>
> ?
Ja, so ist es.
>
> Und darf ich also nun s=0 v s=1 wählen? Das kommt aus der
> allerersten Gleichung. Eine andere Möglichkeit wäre demnach
> s=0 v s=-1 (aus Gleichung 2)?
Du hast den Potenzreihenansatz
[mm]y\left(x\right)=\sum\me_{n=0}^{\infty}c_{n}*x^{n+s}[/mm]
gewählt.
Für s=0 erhältst Du eine Potenzreihe, die wirklich bei 0 beginnt.
Diesen Potenzreihensatz wählt man üblicherweise.
>
> gruß,
>
> christoph
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 So 06.07.2008 | | Autor: | Blacky |
Okay, vielen Dank für deine Hilfe.
Damit hat sich die Aufgabe für mich erledigt.
gruß,
christoph
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:34 Di 07.09.2010 | | Autor: | kappen |
Ich muss mich hier mal einklinken...
Diese rekursionsgleichung habe ich auch herausgefunden, mit s=0. Ich habe ein paar glieder berechnet und gesehen, dass [mm] a_{2n}=0 [/mm] ist und [mm] a_{2n+1}=1/n!
[/mm]
Wie zeige ich das jetzt per induktion?
Denke der anfang ist klar. Die behauptung ist [mm] a_{2(n+1)}=0 [/mm] und [mm] a_{2(n+1)+1}=1/(n+1)!
[/mm]
Muss ich ne fall unterscheidung machen? Wie sieht das aus?
Danke schön!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 09.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 20.02.2012 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
Wieso steht denn hier bei y(x) im Exponenten n+s ???
Da darf doch nur n stehen laut Ansatz...
Gruß yuppi
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Hallo yuppi,
> Hallo,
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>
> Wieso steht denn hier bei y(x) im Exponenten n+s ???
>
Im allerersten Artikel dieses Threads wurde erwähnt,
dass diese DGL mit Hilfe des Potenzreihenansatzes
nach Frobenius gelöst werden soll.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Frobenius-Methode
> Da darf doch nur n stehen laut Ansatz...
>
> Gruß yuppi
Gruss
MathePower
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