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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Potenzreihendarstellung
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Potenzreihendarstellung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Sa 24.05.2008
Autor: TommyTomsn

Aufgabe
Leiten Sie die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ab und geben Sie eine Potenzreihendarstellung der Funktion [mm] \bruch{1}{(2-x)^{2}} [/mm] an.

Die Ableitung der geometrischen Reihe ist laut meiner Berechnung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm]

Ich komme jedoch nicht auf die Potenzreihendarstellung des zweiten Terms.
Hat jemand eine Idee/Lösung dazu?

        
Bezug
Potenzreihendarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Sa 24.05.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Leiten Sie die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ab und geben Sie eine
> Potenzreihendarstellung der Funktion [mm]\bruch{1}{(2-x)^{2}}[/mm]
> an.
>  Die Ableitung der geometrischen Reihe ist laut meiner
> Berechnung:
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
>  
> Ich komme jedoch nicht auf die Potenzreihendarstellung des
> zweiten Terms.
>  Hat jemand eine Idee/Lösung dazu?

Hallo Tommy,

du hast ja jetzt schon eine Reihendarstellung für   [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]

Das einzige was stört, ist der Ausdruck  (1-x) , an dessen
Stelle  (2-x)  stehen sollte. Dies lässt sich bestimmt mit
einer einfachen Substitution lösen:

Schreib'  zum Beispiel anstelle  von  (2-x)  den Ausdruck
2*(1-u) , wobei natürlich u = x/2 sein muss !

LG    al-Chwarizmi




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