Potenzreihendarstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:51 Sa 24.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Leiten Sie die Potenzreihendarstellung von 1/sin(x) mithilfe der Bernoulli-Zahlen her.
Leiten Sie die Potenzreihendarstellung von x coth(x/2) her. Zeigen Sie, dass für |x| <1/2 gilt: [mm] xcoth(\bruch{x}{2}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (B_{k} [/mm] + [mm] \summe_{j=0}^{k} \vektor{k \\ j}B_{j}) \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] |
Wie löst man so eine Aufgabe. Ich steh total auf der Leitung
falls jemand lust hat mir diese Beispiele zu erklären wäre ich sehr dankbar.
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Schreib doch mal auf, was du über die Bernoulli-Zahlen weisst! Ich weiss überhuapt nicht, was in der Aufgabe an Wissen vorausgesetzt wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:49 So 25.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
okay die zweite aufgabe war eine klausuraufgabe und hab ich jetzt unteranleitung gelöst
[mm] $\frac{1}{\sin(x)}$ [/mm] hab ich jetzt in [mm] $\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}$
[/mm]
umgeformt
so hab ich das bei der coth aufgabe auch gemacht
dann weiß ich nicht mehr weiter wie ich das in irgendetwas wo [mm] $\bruch{x}{e^{x}-1}$
[/mm]
vorkommt umwandle
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okay die zweite aufgabe war eine klausuraufgabe und hab ich
> jetzt unteranleitung gelöst
>
> [mm]\frac{1}{\sin(x)}[/mm] hab ich jetzt in
> [mm]\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}[/mm]
>
> umgeformt
>
> so hab ich das bei der coth aufgabe auch gemacht
Na, schreib entweder mal auf was du bei der coth-Aufgabe alles gemacht hast oder beantworte die Frage von Rainer direkt: was weisst du ueber Bernoullizahlen? Wie habt ihr sie definiert, etc?
> dann weiß ich nicht mehr weiter wie ich das in irgendetwas
> wo [mm]\bruch{x}{e^{x}-1}[/mm]
Es ist doch [mm] $\frac{1}{e^x - e^{-x}} [/mm] = [mm] \frac{e^x}{e^{2 x} - 1} [/mm] = [mm] \frac{e^x}{2 x} \cdot \frac{2 x}{e^{2 x} - 1}$: [/mm] hier hast du jetzt das [mm] $\frac{x}{e^x - 1}$ [/mm] und kannst die Formel dafuer einsetzen und das Produkt mit der Cauchyproduktformel ausrechnen.
Bei dir hast du nun etwas aehnliches.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 25.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
okay
also ich hab [mm] \bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}
[/mm]
umgeschrieben zu
[mm] \bruch{2ie^{ix}}{e^{2ix}-1}
[/mm]
stimmt das bis hierher???
ich hab dann mit x erweitert und komme auf
[mm] \bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!}*(2ix)^{k}
[/mm]
*???? was ist mit den [mm] e^{ix}/k [/mm] ????
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okay
>
> also ich hab [mm]\bruch{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}[/mm]
>
> umgeschrieben zu
>
> [mm]\bruch{2ie^{ix}}{e^{2ix}-1}[/mm]
>
> stimmt das bis hierher???
>
> ich hab dann mit x erweitert und komme auf
>
> [mm]\bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!}*(2ix)^{k}[/mm]
>
> *???? was ist mit den [mm]e^{ix}/k[/mm] ????
Na, es ist [mm] $\bruch{2ix}{e^{2ix}-1}*\bruch{e^{ix}}{x} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{B_{k}}{k!} (2ix)^{k} \cdot \sum_{\ell=0}^\infty \frac{i^\ell x^{\ell - 1}}{\ell!}$.
[/mm]
Du hast also das Produkt von zwei Reihen. Verwende nun das Cauchyprodukt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 25.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
wie kommt man auf den zweiten Teil des Produkts???
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie kommt man auf den zweiten Teil des Produkts???
Das ist die Reihendarstellung der [mm] $\exp$-Funktion, [/mm] mit dem Argument $i x$ anstelle $x$, und das ganze geteilt durch $x$.
LG Felix
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