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Hallo,
ich bin gerade in meinem Physikbuch das erste Mal auf das Thema Potenzreihenentwicklung gestossen. In meinen Mathebuch habe ich das Thema noch nicht behandelt.
Wofür gibt es diese Potenzreihenentwicklung eigentlich? Ist es für Physik wichtig? Kann mir jemand ein Anwendungsbeispiel dafür geben?
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Hallo!
Die Potenzreihenentwicklung beschreibt Funktionen als Summe von Potenzen. Das gilt zwar nur um einen bestimmten Punkt, den Entwicklungspunkt herum, reicht aber meistens aus, um auch kompliziertere Dinge zu berechnen.
Normalerweise spielen die ersten Potenzen die größte Rolle, die nachfolgenden werden eher benötigt, um die Funktion auch in etwas größerer Entfernung zum Entwicklungspunkt gut zu beschreiben.
Gerne benutzt man sogar nur die Terme bis zum ersten Grad (also schon den Term mit dem Quadrat drin nicht mehr).
Beispiel Pendel: Eine Kraftgleichung ist schnell hingeschrieben, und man sucht dann eine Funktion [mm] \alpha(t), [/mm] die man dort einsetzen kann:
[mm] m\ddot\alpha(t)=-g*\sin(\alpha(t))
[/mm]
Das ist ziemlich schwer! Wenn man aber weiß, daß gilt [mm] $\sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+...$ [/mm] und darüber hinaus auch nur den ersten Term mit dem x berücksichtigt, also [mm] $\sin(x)\approx [/mm] x$, wird es einfacher:
[mm] m\ddot\alpha(t)=-g*\alpha(t)
[/mm]
ist sehr sehr einfach zu lösen.
Apropos Sinus: Wenn du auf einer einsamen Insel strandest, und für dein Rettungsfloß den Wert [mm] \sin(3) [/mm] benötigst, wie berechnest du den? Da gibts ja keine Rechenvorschrift für. Wenn du aber weißt, daß der Term oben den Sinus schon sehr gut beschreibt, kannst du auch den zum Berechnen nehmen. Das sind nur Grundrechenarten. Zugegeben, es ist was zeitraubend, aber die hast du auf der Insel ja.
Probier es mal selbst: Lasse einen Computer [mm] \sin(x) [/mm] zeichnen, und dann den Ausdruck oben. Erst nur $x_$, dann [mm] $x-\frac{1}{3!}x^3$, [/mm] dann [mm] x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5 [/mm] und so weiter.
Ansonsten gibt es noch ne ganze Reihe ander Anwendungen, aber das sind so ziemlich die wichtigsten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 16.05.2014 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Event Horizont,
vielen Dank für die ausführliche Informationen... Das muss ich erst mal sacken lassen...
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