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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] seien Funktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus folgendermaßen definiert:
cosh(x):= [mm] \bruch{1}{2}( e^{x}+ e^{-x}), [/mm] sinh(x):= [mm] \bruch{1}{2}( e^{x}- e^{-x}).
[/mm]
Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung mit dem Entwicklungspunkt 0 für cosh(x) und sinh(x). Geben Sie die Konvergenzradien an. |
Wie fange ich da am besten an? Ich stehe bestimmt mal wieder total auf dem Schlauch und brauch nur den richtigen Schubs in die richtige Richtung!
Hoffe ihr helft mir, vielen Dank schonmal
Liebe Grüße, Sandeu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo,
du kennst doch bestimmt die Potenzreihe (um den Entwicklungspunkt $0$) der Exponentialfunktion [mm] $\exp{(x)}$...
[/mm]
Setz dies doch mal in [mm] $\cosh{(x)}$ [/mm] und [mm] $\sinh{(x)}$ [/mm] ein und forme die Ausdrücke solange um, bis jeweils eine Potenzreihe herauskommt.
Frag bitte nochmal nach, falls du irgendwo stecken bleibst.
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
klar, die Potenzreihe für exp(x):= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{ x^{k}}{k!}
[/mm]
und wie sieht das ganze für exp(-x) aus???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
> klar, die Potenzreihe für exp(x):= [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{ x^{k}}{k!}[/mm]
>
> und wie sieht das ganze für exp(-x) aus???
Naja, [mm] $\exp{(-x)}=\sum_{k=0}^{ \infty}\bruch{(-x)^{k}}{k!}$. [/mm] 
Setz diese beiden Reihen mal in [mm] $\cosh{(x)}$ [/mm] und [mm] $\sinh{(x)}$ [/mm] ein!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
Also doch, das hatte ich ja zunächst angenommen, so subtrahieren sich doch aber beide summen raus, oder nicht???
Ich kann doch für cosh(x)= [mm] \bruch{1}{2}( \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{ x^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{- x^{k}}{k!})
[/mm]
auch [mm] \bruch{1}{2}( \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] ( [mm] \bruch{ x^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{ -x^{k}}{k!}))
[/mm]
schreiben, oder nicht?
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Hallo Sandeu!
Du musst hier unbedingt beim hinteren Term Klammern setzen:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\red{(}-x\red{)}^k}{k!}$
[/mm]
Ansonsten würde vom [mm] $\cosh(x)$ [/mm] nur eine $0_$ übrigbleiben.
So aber eliminieren sich lediglich die Glieder für ungerade $k_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
Also ich habe jetzt mal k=2n für gerade k und k=2n-1 für ungerade k gesetzt.
Da bekomme ich für
k=2n-1
cosh(x)=0 und für
k=2n
cosh(x)= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
bekommen.
Was doch genau [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{ x^{k}}{k!} [/mm] ist.
Ich muss doch aber auf [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{ x^{2k}}{(2k)!} [/mm] kommen.
Was übersehe ich denn???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
ach ja???
Hm, ich sagte ja, ich übersehe was, vielen Dank.
Das war jetzt die Potenzreihenentwicklung um den Entwicklungspunkt null, und wie berechne ich jetzt den Konvergenzradius???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sandeu,
ist die Potenzreihendarstellung jetzt klar?
Zum Konvergenzradius: Welchen Konvergenzradius hat denn die Exponentialreihe?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 31.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
So, danke erstmal!!!
Demnach müsste die Aufgabe dann also wie folgt aussehen:
Potenzreihenentwicklung von cosh(x)
wurde ja weiter oben schon gepostet und als richtig befunden.
Potenzreihenentwicklung von sinh(x)
k=2n
sinh(x)= [mm] \bruch{1}{2}( \summe_{n=0}^{ \infty}( \bruch{ x^{2n}}{(2n)!} [/mm] - ( [mm] \bruch{(- x)^{2n}}{(2n)!})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}( \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{ x^{2n}- x^{2n}}{(2n)!} [/mm] =0
k=2n+1
sinh(x)= [mm] \bruch{1}{2}( \summe_{n=0}^{\infty}( \bruch{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}-( \bruch{(- x)^{2n+1}}{(2n+1)!}= \bruch{1}{2}( \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2 x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Konvergenzradius
R= [mm] \bruch{1}{q}
[/mm]
cosh(x): q=lim | [mm] \bruch{ \bruch{1}{(2n+1)!}}{ \bruch{1}{(2n)!}} [/mm] |=lim | [mm] \bruch{1}{(2n+1)}
[/mm]
R= lim [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{(2n+1)}}=lim [/mm] 2n+1= [mm] \infty
[/mm]
analog für sinh(x)
Kann das so stimmen???
Vielen vielen vielen vielen lieben Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 31.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sandeu,
du meinst natürlich das Richtige, aber du musst das Ganze (mathematisch) sauber aufschreiben. Ich mach es dir mal für [mm] $\sinh{(x)}$ [/mm] vor:
[mm] \begin{matrix}
\sinh{(x)}&=&\bruch{\exp{(x)}-\exp{(-x)}}{2} \\
\ &=& \bruch{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}-(-x)^{n}}{n!} \\
\ &=&\bruch{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k}-(-x)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k+1}-(-x)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\
\ &=&\bruch{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k}-x^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k+1}+x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\
\ &=&\bruch{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k+1}+x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\
\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
\end{matrix}
[/mm]
Für den [mm] $\cosh{(x)}$ [/mm] geht das analog!
Konvergenzradius:
Also bei der Anwendung des Quotientenkriteriums musst du schon darauf achten, dass du wirklich [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}$ [/mm] betrachtest. Das geht hier aber nicht so ohne weiteres, denn im Fall von [mm] $\sinh{(x)}$ [/mm] ist ja [mm] $a_{0}=0,\quad a_{1}=1,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=\bruch{1}{6},\quad a_{4}=0,\quad a_{5}=\bruch{1}{120},\quad a_{6}=0,$ [/mm] usw.
Ich würde mich in diesem Fall aber gar nicht damit belasten, sondern einfach so argumentieren:
Du weißt, dass [mm] $\sinh{(x)}&=&\bruch{\exp{(x)}-\exp{(-x)}}{2}$. [/mm] Der Konvergenzradius der Exponentialreihe ist [mm] $\infty$. [/mm] Also ist auch der Konvergenzradius einer Summe (bzw. einer Differenz) von Exponentialfunktionen gleich [mm] $\infty$. [/mm] Für den [mm] $\cosh{(x)}$ [/mm] wieder analog!
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sandeu,
nur eine ganz kleine Bemerkung:
Wir hätten uns zwei Frage-Antwort-Sequenzen sparen können, wenn du deinen (falschen) Ansatz mitgepostet hättest. Ich hätte dich sofort auf deinen Fehler hinweisen können. Warum hast du am Anfang so getan, als hättest du keinen Plan, obwohl du schon einen recht brauchbaren Ansatz hattest?
Das sollte jetzt nur eine konstruktive(!) Kritik sein!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sandeu |
Oh das tut mir leid, aber ich bin davon ausgegangen, das dieser Ansatz eh falsch ist, und wollte eben nicht noch fehler einstreuen.
Das war keine Absicht, kommt nicht wieder vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sandeu,
du brauchst dich wirklich nicht zu entschuldigen!!!
Ich meinte nur, dass es für dich ja wahrscheinlich auch wichtig ist, möglichst schnell eine hilfreiche Antwort zu bekommen. Und wenn man dann bei Adam und Eva anfängt, obwohl der Fragende eigentlich schon viel weiter ist, dann ist das Ganze für beide Seiten nicht sonderlich effektiv!
Ich kann aber gut verstehen, dass man einen Ansatz, den man für völlig falsch hält, lieber für sich behält. Aber einmal mehr zeigt sich: Völlig falsche Ansätze gibt es gar nicht (oder ganz selten ).
MFG,
Yuma
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist nicht dasselbe, da hier Glieder aller natürlichen Zahlen aufsummiert werden, oben aber lediglich alle geraden Zahlen (jeweils einschließlich $0_$).
