Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
| Aufgabe | Die folgenden Funktionen sind in Potenzreihen zu entwickeln, und das Restglied ist zu bestimmen
a) [mm] y=\bruch{1+x}{1-x} [/mm]
[mm] x_0=0
[/mm]
b) [mm] y=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] x_0=1
[/mm]
c) y=tan(x)
[mm] x_0=0
[/mm]
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so ich hab mich wieder ein wenig eingelesen und bin immerhin schon soweit das ich weiß das ich für die aufgabenteile a und b die Mac Laurinsche Formel benutzen darf da [mm] x_0=0 [/mm] ist
dazu hab ich mir jetzt mal ein beispiel angeschaut
www.ronaldbalestra.ch/Diversikum/Taylorreihe_GruppeB.ppt auf seite 7 das mit
[mm] e^x [/mm] dort kann ich den hergang relativ gut nachvollziehen aber wenn ich jetzt versuche das auf mein beispiel umzumünzen steh ich vor einer wand ^^
vom prinzip müsste ich ja nur die werte die meine ableitungen der funktion für x=0 annimmt in die formel
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(mein faktor)*\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
einsetzen,richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, du musst einfach die ersten paar Ableitungen ausrechnen und bei 0 hinschreiben. Dann siehst du fast sicher das Bildungsgesetz.
Bei der ersten kannst du auch in ein Produkt aus 1+x und geometrische Reihe für 1/(1-x) schreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
mmh also ich hab jetzt sozusagen y´ und y´´ mit der quotientenregel gebildet ich schenk mir mal das hier einzutippen isn bißchen lang ^^ aber wenn ich dann für x = 0 einsetze bekomme ich bei
y´ =-1
und bei
[mm] y´´=\bruch{0}{1}
[/mm]
kann das stimmen bzw wenn ja wie gehts nun weiter bin hiermit grade echt ein wenig überfordert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab für y(0)= 1; [mm] y'=2/(1-x)^2 [/mm] ; y'(0)=2
wie hast du denn differenziert?
und nochmal: 1/(1-x) ist ne geometrische Reihe. multipl. die mit 1+x
aber üb ruhig noch was differenzieren! also y' y'', y''' und dann überleg, wie es wohl weiter geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok den fehler in der ableitung auf meinem blatt hab ich jetzt gefunden
mit deiner ersten ableitung hab ichs nochmal versucht und komm dann für die 2te ableitung auf
[mm] \bruch{0*g(x)-(2*2x-2)}{(x^2-2x-1)^2}
[/mm]
was dann zu [mm] \bruch{4}{1} [/mm] =4 führt
dann hat sich mein funktionswert verdoppelt
und einfach mal ins blau geraten würd ich sagen verdoppelt er sich im nächsten schritt auf 8 richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> also nur kurz zur ableitung den rest schau ich mir noch
> genauer an ich hab
>
> [mm]y=\bruch{1+x}{1-x}[/mm]
>
> nach der quotientenregel abgeleitet
>
> [mm]\bruch {f,(x)*g(x)-f(x)*g,(x)}{g(x)^2}[/mm]
>
> damit bin ich dann auf
>
>
> [mm]\bruch{-x^2+2x+1}{x^2-2x-1}[/mm]
Das ist leider nicht richtig. Zeig mal Deine Rechnungen
FRED
>
> gekommen und das hab ich dann genau auf die gleiche art
> nochmal abgeleitet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
@ fred jo warst zu schnell hab mein fehler gefunden und die sache nochmal geändert
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Hallo tronix,
> ok den fehler in der ableitung auf meinem blatt hab ich
> jetzt gefunden
>
> mit deiner ersten ableitung hab ichs nochmal versucht und
> komm dann für die 2te ableitung auf
>
>
> [mm]\bruch{0*g(x)-(2*2x-2)}{(x^2-2x-1)^2}[/mm]
Ach, nicht so wild ausmultiplizieren ... und wenn, dann keine Klammern unterschlagen.
Es ist doch [mm] $y'=\frac{2}{(1-x)^2}$
[/mm]
Also [mm] $y''=\frac{0\cdot{}(1-x)^2-2\cdot{}2(1-x)\cdot{}(-1)}{(1-x)^4}=\frac{4}{(1-x)^3}$
[/mm]
>
> was dann zu [mm]\bruch{4}{1}[/mm] =4 führt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann hat sich mein funktionswert verdoppelt
> und einfach mal ins blau geraten würd ich sagen
> verdoppelt er sich im nächsten schritt auf 8 richtig?
Nein, ganz und gar nicht, besser rechnen als raten.
Rechne doch allg. die ersten 3 oder 4 Ableitungen aus, dann siehst du, wie's allg. läuft.
Wenn du ein allg. Schema erkennst, wie die $n$-te Ableitung aussieht, beweise das kurz mit ner Induktion.
Dann kannst du schnell die Taylorreihe aufstellen.
Nun schreibe uns mal sauber hier die ersten 3 oder 4 Ableitungen auf.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
[mm] y''=\frac{0\cdot{}(1-x)^2-2\cdot{}2(1-x)\cdot{}(-1)}{(1-x)^4}=\frac{4}{(1-x)^3}
[/mm]
ist die umformung
[mm] 2(1-x)\cdot{}(-1) [/mm]
nur dafür da damit man dann gegen 1 potenz im nenner kürzen kann?
für die y'''= hab ich mir jetzt folgendes aufgeschrieben
[mm] \bruch{0*(1-3)^3-4*(-3*(1-x)^2)}{(1-x)^9}
[/mm]
wobei ich mir für den teil [mm] (-3*(1-x)^2) [/mm] sehr unsicher bin das soll halt g(x) nach kettenregel abgeleitet sein
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Hallo tronix,
>
> [mm]y''=\frac{0\cdot{}(1-x)^2-2\cdot{}2(1-x)\cdot{}(-1)}{(1-x)^4}=\frac{4}{(1-x)^3}[/mm]
>
>
> ist die umformung
>
> [mm]2(1-x)\cdot{}(-1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> nur dafür da damit man dann gegen 1 potenz im nenner
> kürzen kann?
Nein, ich hatte das nur ausführlich aufgeschrieben, die (-1) am Ende rühren von der inneren Ableitung von $(1-x)^2$
Bei jeder weiteren Ableitung kannst du immer so zusammenfassen, dass sich die Potenz des Nennerterms stets nur um 1 erhöht ...
>
>
> für die y'''= hab ich mir jetzt folgendes aufgeschrieben
>
>
> $\bruch{0*(1-\red{3})^3-4*(-3*(1-x)^2)}{(1-x)^{\blue{9}}$
Da muss zum einen $\red{x}$ stehen, zum anderen $(1-x)^{\blue{6}}$; es ist doch $\left[(1-x)^3\right]^2=(1-x)^{3\cdot{}2}=(1-x)^6$
>
>
> wobei ich mir für den teil [mm](-3*(1-x)^2)[/mm] sehr unsicher bin
> das soll halt g(x) nach kettenregel abgeleitet sein
Ja, das stimmt so, du hast die innere Ableitung direkt mit der 3 zu -3 verrechnet ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
Da muss zum einen [mm] \red{x}stehen
[/mm]
steht aufm blatt auch so drauf^^
so dann fasse ich wieder alles zusammen und kriege
[mm] \bruch{12}{(1-x)^4} [/mm] raus ist das korrekt?
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Hallo nochmal,
> Da muss zum einen [mm]\red{x}stehen[/mm]
>
> steht aufm blatt auch so drauf^^
Das dachte ich mir schon 
>
> so dann fasse ich wieder alles zusammen und kriege
>
> [mm]\bruch{12}{(1-x)^4}[/mm] raus ist das korrekt?
Jo!
Und, siehst du ein Schema?
Sonst mach noch ne Ableitung, dann klickt's ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
ich kann es leider nur in worten ausdrücken weil mir einfach nich klar is wie ichs als formel aufschreiben soll aber ich denke das folgende solls sein
der zähler wird mit dem exponenten des nenners multipliziert und dann als neuer zähler in die ableitung eingesetzt wobei der exponent des nenners am ausdruck (1-x)um 1 erhöht wird
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Hi,
Stichwort: Fakultät ...
Nun? ...
Ich schaue mir jetzt aber die Holländer an und mache "Feierabend".
Viel Erfolg weiterhin ...
Gruß und schönen Abend
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}= \bruch{2n!}{(1-x)^{n+1}}
[/mm]
ich denke mal das ist es dann oder??
und wie gehts dann weiter oder bin ich jetzt mit der entwicklung fertig?bzw was ist mit dem restglied ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 06.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist jetzt ganz großer Blödsinn.
Du willst doch die Taylorformel anwenden? im ersten post war die noch richtig, und dir fehlte nur die Ableitungen an der Stelle 0?
Eine Potenzreihe sieht immer so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n*x^n
[/mm]
übrigens:
[mm] y=a/(1-x)^b [/mm] leitet man besser nicht mit der Quotientenregel ab, sondern schreibt
[mm] y=a*(1-x)^{-b} [/mm] und leitet dann ab, dann sieht man auch direkt, wie die Faktoren sind!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
wie ick das hier heute einfach nicht schnalle ick setzt mich morgen nochmal in ruhe ran danke aber trotzdem erstmal an alle für ihre geduld mit mir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
so und weiter geht die wilde fahrt bevor ich hier heute wieder nich vorwärts komme zuerst die frage
ob meine vorgehensweise folgendemaßen richtig ist
1. erkenntnis x=0 => maclaurin formel
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(mein faktor)\cdot{}\bruch{x^n}{n!} [/mm] $
2.bilden der ersten ableitungen zum ermitteln eines "faktorbildungsgesetztes"
[mm] y'=\bruch{2}{(1-x)^2}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{4}{(1-x)^3}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{12}{(1-x)^4}
[/mm]
=> [mm] \bruch{2(n)!}{(1-x)^{n+1}}
[/mm]
als gesetzt für die faktoren bildung
3. kombinieren der ausgangsformel und der faktorenformel zu einer potenzreihen darstellung der gestalt
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n\cdot{}x^n [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzio richtig, nur schreibst du nicht was "mein Faktor" ist, Dazu hast du doch all die Ableitungen ausgerechnet?
allerdings ist die allgemeine Formel noch falsch
(2*3)!=6! das steht nicht bei y''' wo muss die Klammer stehen, damit es richtig wird?
deine Faktoren sind Zahlen, keine Ausdrücke in x! guck nochmal die Def. Der Taylorreihe nach, dann bist du, nach Beseitigen des Fehlers fertig.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
jo das mit der klammer hab ich schon gesehen 2(n!) wäre korrekt aber ich wollts nich gleich wieder vor der antwort ändern aber jetzt hab ichs gemacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
ok ich weiß einfach nich genau was ich hier tun soll die beispiele sagen mir nix und denken kann ichs mir auch nicht aber das einzige was für mich jetzt noch möglich wäre ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}2(n!)\cdot{}\bruch{x^n}{n!} [/mm]
das stellt jetzt einfach nur den ausdruck der meinen faktor bildet in die formel
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(mein faktor)\cdot{}\bruch{x^n}{n!} [/mm] eingesetzt da
wenn das nicht stimmt wäre mir mit einer lösung geholfen an der ich das ganze mal rückwärts nachvollziehen kann weil irgendwie fällt der groschen sonst nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig! kürz noch durch n! damit es schöner aussieht.
Vielleicht hast du die Idee der Taylorreihe nicht richtig kapiert? Wenn man ein Polynom n ten Grades hat, braucht man n+1 angaben , um es zu bestimmen, das weisst du sicher noch aus der Schule. dies n+1 angaben können die die werte der n+1 ableitungen an einer Stelle a (hier a=0) sein. wenn man jetzt eine funktion , die kein polynom ist angenähert bestimmen will, gibt man die ersten n+1 Ableitungen an einer stelle an, und hat damit eine "Näherung" der Funktion durch ein polynom n ten Grades. Wenn man alle ableitungen an einer stelle kennt, kann man die fkt beliebig gut annhern, also sie durch ein "unendliches" polynom darstellen. dass die so gefundene Reihe unter bestimmten vors die fkt ist, habt ihr sicher bewiesen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
tja da muss ich dich leiter enttäuschen habs zwar immerhin bin zum fachabi gebracht aber dieses ganze themengebiet Funktionsreihen, Statistik u.ä. ist mir im studium das erstemal begegnet nicht umsonst tu ich mich so überaus schwer damit ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
also ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}2x^n [/mm] die endgültige lösung für a?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
achso ich habe vergessen zu fragen was mit dem restglied ist weil in der aufgabenstellung steht ja da soll man was bestimmen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn es eine Reihe ist, also bis [mm] \infty [/mm] gewht, gibts kein Restglied.
das kannst du aber hinschreiben, wenn man nur bis n summiert. Wie es aussieht siehe skript oder wiki unter taylorpolynom.
So wie die frage da steht (ist das der orginaltext?) ist es nicht sinnvoll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 06.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Leute,
Wieso macht ihr es so kompliziert? Macht man nicht am besten einen Koeffizientenvergleicht???
1 + x = [mm] (1-x)*\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}*x^{i}
[/mm]
Grüsse
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Hallo,
> Hallo Leute,
>
> Wieso macht ihr es so kompliziert? Macht man nicht am
> besten einen Koeffizientenvergleicht???
>
> 1 + x = [mm](1-x)*\summe_{i=0}^{\infty} a_{i}*x^{i}[/mm]
>
> Grüsse
Darauf hat leduart oben bereits zweimal hingewiesen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 06.07.2010 | | Autor: | tronix |
weil ich überhaupt keine ahnung hatte was er mir damit sagen wollte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 07.07.2010 | | Autor: | tronix |
so ich hab mich nun mal an b versucht
1)da hier ja x0=1 muss ich diesmal zur taylorformel greifen
2)ableitungen von [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] bilden
[mm] y'=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{-2}{x^3}
[/mm]
[mm] y'''=\bruch{6}{x^4}
[/mm]
[mm] y''''=\bruch{-24}{x^5}
[/mm]
[mm] y'''''=\bruch{120}{x^6}
[/mm]
damit das bildungsgesetzt für den faktor auf [mm] (-1)^{n+1}n! [/mm] festgelegt
3) bildungsgesetzt in [mm] \summe_{n=0}^{\infty}*\bruch{f^{(n)}*(x0)}{n!}*(x-x0)^n [/mm]
einsetzten
bringt mich dann auf
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}*\bruch{(-1)^{n+1}n!*(x0)}{n!}*(x-x0)^n
[/mm]
was mich nach kürzen und einsetzen zu
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}*\bruch{(-1)^{n+1}1*(1)}{1}*(x-1)^n
[/mm]
bringt was dann ordentlich geschreiben
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*(x-1)^n
[/mm]
ist ??? so hab ichs jetzt auf meinem blatt stehen für hinweise und anmerkungen zu fehlern falschen denkansätzen und falsch fomulierten mathematischen ausdrücken bin ich offen wie ein scheunentor ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit der geometrischen Reihe gehts einfacher:
[mm] $y=\bruch{1}{x}= \bruch{1}{1-(1-x)}= \summe_{n=0}^{\infty}(1-x)^n= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$ [/mm] für $|x-1|<1$
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast dich bei y' mit dem Vorzeichen vertan, dadurch sind alle folgenden auch falsch!
deshalb statt [mm] (-1)^{n+1} [/mm] richtig [mm] (-1)^n
[/mm]
Rest richtig, aber fred hat dir ja auch die einfachere Lösung geschrieben.
Gruss leduart
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