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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Di 08.11.2011 | | Autor: | sunny20 |
| Aufgabe | | Ist die unendliche Reihe S = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!} [/mm] konvergent? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meiner Meinung nach ist die Reihe konvergent und läuft gegen null...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!} [/mm] = 0
Kann man das so schreiben und stimmt mein Ergebnis?
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> Ist die unendliche Reihe S = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!}[/mm]
> konvergent?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Meiner Meinung nach ist die Reihe konvergent und läuft
> gegen null...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!}[/mm]
> = 0
>
> Kann man das so schreiben und stimmt mein Ergebnis?
Nein und jein.
Die Schreibweise geht so nicht, da der Grenzwert bereits in [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] enthalten ist.
Wenn, dann musst schreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=0}^{n}...
[/mm]
Die Reihe ist konvergent, aber nicht gegen Null. Dazu solltest du dir nochmal den Unterschied zwischen Folge und Reihe klarmachen. Gegen Null konvergieren die Glieder [mm] \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!} [/mm] der Reihe, aber nicht ihre Summe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] sin(\pi/4)=\bruch{1}{\wurzel{2}}. [/mm] Also ist
$ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{ sin( \bruch{\pi}{4})}{i!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1 }{i!}= \bruch{e}{\wurzel{2}}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 09.11.2011 | | Autor: | sunny20 |
| Aufgabe | | Ist die unendliche Reihe S = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{sin(\bruch{\pi}{4})^{î}}{i!} [/mm] konvergent? |
Leider hat das Formelsystem nicht ganz angenommen, dass der Sinus noch mit "i" Potenziert wird sprich der Zähler vom Bruch lautet: [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm]
Hoch i !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^i}{i!} =e^x [/mm] für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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