Potenzreihenentwicklung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 09.12.2011 | | Autor: | PImo |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x)=arctan x
a) Wie lautet die Potenzreihenentwicklung[mm] \sum_{n=0} ^ {\infty} a_n \times x^n [/mm] der Funktion [m] f'(x) [/m] an der Stelle [m] x_0 = 0 [/m] ?
Hinweis: Man verwende die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe! |
Hallo,
meine Ideen hierzu:
Die erste Ableitung lautet [m] f'(x) = \bruch {1}{1+x^2} [/m] .
Wenn man dort [m] x_0 = 0 [/m] einsetzt kommt 1 heraus.
Die Summenformel lautet [m] a_1 \times \bruch {1}{1-q} [/m] .
Wie muss ich nun weiter vorgehen? Ist mein [m] a_1 =1 [/m] ?
Wie kriege ich das q heraus?
Danke schonmal im vorraus!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo PImo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Funktion f(x)=arctan x
>
> a) Wie lautet die Potenzreihenentwicklung[mm] \sum_{n=0} ^ {\infty} a_n \times x^n[/mm]
> der Funktion [m]f'(x)[/m] an der Stelle [m]x_0 = 0[/m] ?
> Hinweis: Man verwende die Summenformel der unendlichen
> geometrischen Reihe!
> Hallo,
> meine Ideen hierzu:
> Die erste Ableitung lautet [m]f'(x) = \bruch {1}{1+x^2}[/m] .
> Wenn man dort [m]x_0 = 0[/m] einsetzt kommt 1 heraus.
> Die Summenformel lautet [m]a_1 \times \bruch {1}{1-q}[/m] .
> Wie muss ich nun weiter vorgehen? Ist mein [m]a_1 =1[/m] ?
> Wie kriege ich das q heraus?
Schreibe die erste Ableitung doch mal so:
[mm]f'(x) = \bruch{1}{1+x^2}=\bruch{1}{1-\left(-x^{2}\right)}[/mm] .
Nun kannst Du das in eine geometrische Reihe entwickeln.
> Danke schonmal im vorraus!
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | PImo |
Tut mir leid aber damit komme ich immer noch nicht weiter (Folgen und Reihen hatte ich nie in der Schule ; sie sind mein Problemfeld bei der Analysis).
Folgt aus [m] f'(x) = \bruch {1}{1-(-x^2)} [/m] , dass das q aus der Summenformel = [m] (-x^2) [/m] ist?
Und falls dem so ist , wie lautet eine Formel mit der ich [m] a_1 [/m] berechnen kann?
Stehe grade so ziemlich auf dem Schlauch!
Liebe Grüße
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Hallo PImo,
> Bleibt gleich
> Tut mir leid aber damit komme ich immer noch nicht weiter
> (Folgen und Reihen hatte ich nie in der Schule ; sie sind
> mein Problemfeld bei der Analysis).
> Folgt aus [mm]f'(x) = \bruch {1}{1-(-x^2)}[/mm] , dass das q aus
> der Summenformel = [mm](-x^2)[/mm] ist?
Ja!
> Und falls dem so ist , wie lautet eine Formel mit der ich
> [mm]a_1[/mm] berechnen kann?
Du hast doch nun [mm]f'(x)=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}x^{2n}[/mm]
Das alles natürlich für [mm]|q|=\left|-x^2\right|<1[/mm]
Also für welche [mm]x[/mm]?
> Stehe grade so ziemlich auf dem Schlauch!
Mache einen großen Schritt nach vorne, vom Schlauch runter 
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 09.12.2011 | | Autor: | PImo |
| Aufgabe | | b) Mit Hilfe der in a) gewonnen Potenzreihe bestimme man die Potenzreihenentwicklung der Funktion f an der Stelle [m] x_0 = 0 [/m] und ermittle ihren Konvergenzradius. |
Zur vorherigen Antwort:
[m] |q| = | -x^2 | < 1 [/m] daraus folgt x= ]-1,1[ ?!
Darf man die aus a) gewonnene Summe nun integrieren , um die Potenzreihe für f(x) zu erhalten ?
Liebe Grüße
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Hallo nochmal,
> b) Mit Hilfe der in a) gewonnen Potenzreihe bestimme man
> die Potenzreihenentwicklung der Funktion f an der Stelle
> [mm]x_0 = 0[/mm] und ermittle ihren Konvergenzradius.
> Zur vorherigen Antwort:
> [mm]|q| = | -x^2 | < 1[/mm] daraus folgt x= ]-1,1[ ?!
>
> Darf man die aus a) gewonnene Summe nun integrieren , um
> die Potenzreihe für f(x) zu erhalten ?
Jawohl, das darfst du in ihrem Konvergenzbereich gliedweise tun!
> Liebe Grüße
Zurück!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 09.12.2011 | | Autor: | PImo |
[m] \int \left [ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \times x^ \left ( 2n \right ) \right] dx = \sum_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2n+1} \right \times x^ \left ( 2n+1 \right ) [/m]
Ist das so richtig?
Und wie muss ich nun weiter vorgehen , um den Konvergenzradius zu bestimmen?
Liebe Grüße
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Hallo PImo,
> zu b)
> [m]\int \left [ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \times x^ \left ( 2n \right ) \right] dx = \sum_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2n+1} \right \times x^ \left ( 2n+1 \right )[/m]
>
> Ist das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wie muss ich nun weiter vorgehen , um den
> Konvergenzradius zu bestimmen?
Um den Konvergenzradius dieser Reihe zu berechnen,
kannst Du das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium anwenden.
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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