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| Aufgabe | Bestimme jeweils die ersten 4 Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung der Funktion f=f(z) um die gegebene Entwicklungsstelle [mm] z_0. [/mm] Wie groß ist der jeweilige Konvergenzradius?
a) [mm] f(z)=e^z, z_0=i\pi
[/mm]
b) [mm] f(z)=\frac{1}{\sin{}z}, z_0=\frac{\pi}{2}
[/mm]
c) [mm] f(z)=\tan{}z, z_0=0 [/mm] |
Hallo zum zweiten und gewiss nicht letzten Mal, ;)
Die Koeffizienten berechnen sich nach der Formel [mm] a_0=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}
[/mm]
Teilaufgabe a)
[mm] a_0=-1
[/mm]
[mm] a_1=-1
[/mm]
[mm] a_2=-\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_3=-\frac{1}{6}
[/mm]
Der Konvergenzradius ist [mm] \rho=\infty. [/mm] Meine Begründung beruht sich darauf, dass [mm] f(z)=e^z [/mm] auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist.
Teilaufgabe b)
[mm] a_0=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1
[/mm]
[mm] a_1=\frac{f'(z_0)}{1!}=\frac{-\cos{}z}{\sin^2z}=0
[/mm]
[mm] a_2=\frac{1}{2}*\frac{\sin^3z+\cos^2z*2\sin z}{\sin^4z}=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_3=\ldots=0
[/mm]
Hier hänge ich schon ein bisschen am Konvergenzradius. Man hat uns gesagt, dass man den Konvergenzradius auch bestimmen kann, indem man den Abstand vom Entwicklungspunkt zur nächsten Singularität anschaut. Daher bin ich der Meinung, dass [mm] \rho=\frac{\pi}{2} [/mm] der Konvergenzradius ist. Ist dies korrekt?
Teilaufgabe c)
[mm] a_0=0
[/mm]
[mm] a_1=\frac{1}{\cos^2z}=1
[/mm]
[mm] a_2=\frac{1}{2}\frac{2\cos{}z*\sin{}z}{\cos^4z}=0
[/mm]
[mm] a_3=\ldots=2
[/mm]
Hier bin ich mir absolut nicht sicher mit dem Konvergenzradius. Ist wegen [mm] \tan{}z=\frac{\sin{}z}{\cos{}z} [/mm] der Konvergenzradius [mm] \rho=\frac{\pi}{2}? [/mm] Schließlich ist ja [mm] \cos(\pi/2)=0.
[/mm]
Ich freue mich über Hinweise oder gegebenfalls Korrekturhinweise.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Wieder: alles bestens
FRED
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