Präsentation einer Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei G = <x, y | [mm] x^8, y^2, yxyx^3>. [/mm] Man bestimme die Ordnung und die Elemente von G. |
Hallo,
wie komme ich von der Darstellung G=<x, y | [mm] x^8, y^2, yxyx^3> [/mm] auf die Elemente von G? Ich weiß halt, dass x und y die Gruppe G erzeugen, und dass die Relationen neutrale Elemente sind.
Ist es möglich auf eine Darstellung der Form G={...} zu kommen ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Viele Grüße
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Hallo imagemixer,
Ja ist es. An den Relationen $ [mm] x^8 [/mm] =1 $, $ [mm] y^2=1 [/mm] $, $ [mm] yxy^{-1}=x^5 [/mm] $ erkennt man recht schnell, wie das ganze zu einem semidirekten Produkt aus [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/8\IZ [/mm] $ wird. (Beachte, dass [mm] $5^2=1\quad \mod [/mm] 8 $).
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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Hallo,
ich kann die Relation [mm] yxy^{-1} [/mm] = [mm] x^{5} [/mm] nicht nachvollziehn. Man erhält doch aus [mm] yxyx^3={id} \Rightarrow yxy^{-1} [/mm] = [mm] x^{-3} [/mm] (Mit [mm] y^{-1}=y [/mm] --> folgt ja aus der Rechnung quasi).
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Hi,
Wegen $ [mm] x^8=1 [/mm] $ gilt $ [mm] x^{-3}=x^5 [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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Okay, danke. Was bringt das, zu wissen, dass es ein semidirektes Produkt ist (außer, dass es Ordnung 16 hat) ? Wir hatten das mit dem semidirekten Produkt noch nicht so auführlich. Wie komme ich denn auf die 16 Elemente der Gruppe?
Grüße
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Naja, das kommt drauf an, was du am Ende haben möchtest. Die Darstellung als semidirektes Produkt ist ja schon ziemlich konkret (muss aber von dir noch bewiesen werden!). In deinem Startpost hattest du ja etwas stehen von G={...}. Das macht ja nur Sinn wenn die Verknüpfung irgendwie beachteT wird. Du könntest z.B. eine Multiplikationstabelle aufstellen.
Liebe Grüße
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Das mit der Multiplikationstabelle versuche ich mal. Was muss ich dabei beachten ? (Habe ich auch noch nie gemacht). Packe ich immer "neu gefundene Elemente" in die Tabelle dazu oder wie läuft das?
Liebe Grüße
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Hattet ihr für Gruppen G, H die konkrete Konstruktion des semidirekten Produktes auf der Grundmenge $ [mm] G\times [/mm] H $? Falls ja, könntest du jedes Element als geordnetes Paar darstellen, wobei eine Komponente aus x-Potenzen und die andere aus y-Potenzen besteht.
Ich möchte dich trotzdem nochmal unauffällig darauf hinweisen, dass du noch zeigen musst, dass das ganze tatsächlich zu einem semidirekten Produkt wird.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:08 Sa 30.11.2013 | | Autor: | imagemixer |
Danke.
Gibt es auch eine Rechnung "zu Fuß", ohne zu zeigen, dass es sich um ein semidirektes Produkt handelt. Also konkret die Elemente ausrechnen, die Ordnung bestimmen, usw..
Im Nachhinein sollen auch die Normalteiler, Konjugationsklassen und das Zentrum bestimmt werden.
Liebe Grüße
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Ich kann mir da nichts hübsches vorstellen. (Ich schreibe das, damit sich auch andere trauen, was dazu zu sagen, die einen "naiven" Weg sehen, der ohne seitenlange unschöne Rechnungen auskommt).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 So 01.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es auch eine Rechnung "zu Fuß", ohne zu zeigen, dass
> es sich um ein semidirektes Produkt handelt. Also konkret
> die Elemente ausrechnen, die Ordnung bestimmen, usw..
Das kann man schon machen:
Da $x$ und $y$ endliche Ordnung haben lassen sich negative Potenzen in positive umschreiben. Damit ist jedes Element aus $G$ von der Form [mm] $x^{a_1} y^{b_1} x^{a_2} y^{b_2} \cdots x^{a_n} y^{a_n}$ [/mm] (wobei $n$ vom Element abhaengt). Nun weisst du [mm] $x^8 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] = e$, womit du $0 [mm] \le a_i [/mm] < 8$ und $0 [mm] \le b_i [/mm] < 2$ annehmen kannst.
Weiterhin ist $y x y [mm] x^3 [/mm] = e$, womit [mm] $\red{y x = (y x^3)^{-1} = x^{-3} y^{-1} = x^5 y}$ [/mm] ist. Hiermit kannst du jetzt [mm] $y^b x^a$ [/mm] in [mm] $x^{a'} y^{b'}$ [/mm] umschreiben. Zusammen mit den obigen Bemerkungen kannst du also jedes Element aus $G$ in der Form [mm] $x^a y^b$ [/mm] schreiben mit $0 [mm] \le [/mm] a < 8$ und $0 [mm] \le [/mm] b < 2$. Weiterhin kannst du dir ueberlegen, dass aus [mm] $x^a y^b [/mm] = [mm] x^c y^d$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] a, c < 8$ und $0 [mm] \le [/mm] b, d < 2$ folgt $a = c$ und $b = d$. Damit ist die Abbildung [mm] $\{ 0, \dots, 7 \} \times \{ 0, 1 \} \to [/mm] G$, $(a, b) [mm] \mapsto x^a y^b$ [/mm] eine Bijektion und du weisst, wie alle Gruppenelemente aussehen.
Damit kannst du jetzt auch die Ordnung bestimmen: die Ordnungen muessen Teiler von 16 sein (Lagrange), womit du die Auswahl 1, 2, 4, 8, 16 hast. Jetzt musst du etwas rechnen, und zum Rechnen kannst du die obigen Bemerkungen verwenden, um jedes Ergebnis auf die Form [mm] $x^a y^b$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] a < 8$ und $0 [mm] \le [/mm] b < 2$ zu reduzieren. Ich wuerd vielleicht erstmal [mm] $(x^a y^b)^2$ [/mm] in wieder dieser Form darstellen, das hilft hier sicher.
Und vielleicht wird es auch einfacher, wenn du die Struktur der Gruppe mit Gruppen vergleichst, die du schon kennst, in der Hoffnung dass es genau eine dieser Gruppen ist. (Tipp: es gibt bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 14, und nur eine davon ist abelsch.) In Ordnung 16 ist das nicht ganz so einfach, da gibt's mehr Kandidaten. Allerdings weisst du, dass es ein Element der Ordnung 8 gibt, da fallen schonmal ein paar Kandidaten weg.
> Im Nachhinein sollen auch die Normalteiler,
> Konjugationsklassen und das Zentrum bestimmt werden.
Das dagegen wird schwieriger. Hierbei ist die Multiplikationstabelle hilfreich, und es wird aufwaendig... Es sei denn du erkennst einen Isomorphismus zu etwas, was du schon kennst :)
LG Felix
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Hallo felixf,
Die Gruppe hat Ordnung 16, du scheinst an irgend einer Stelle (vielleicht weil [mm] $\{0,...7\} [/mm] $ nach 7 Elementen aussieht) auf 14 gekommen zu sein.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 01.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin UniversellesObjekt,
> Die Gruppe hat Ordnung 16, du scheinst an irgend einer
> Stelle (vielleicht weil [mm]\{0,...7\}[/mm] nach 7 Elementen
> aussieht) auf 14 gekommen zu sein.
oh, ja. Danke fuer den Hinweis! Ich aender es mal :)
LG Felix
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> Zusammen mit den obigen
> Bemerkungen kannst du also jedes Element aus [mm]G[/mm] in der Form
> [mm]x^a y^b[/mm] schreiben mit [mm]0 \le a < 8[/mm] und [mm]0 \le b < 2[/mm].
@imagemixer: Das ist dann übrigens nichts anderes als die von mir vorgeschlagene Tupel-Schreibweise, nur dass wir dann anstatt [mm] $x^ay^b$ [/mm] stattdessen [mm] $(x^a,y^b)$ [/mm] gehabt hätten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Danke sehr,
also was ich bis jetzt rausgefunden habe sieht so aus:
Ich kenne alle 16 Elemente meiner Gruppe und weiß also logischerweise, dass die Gruppe der Ordnung 16 ist.
[mm] G:=\{{id,a,b,ab,a^{2},a^2b,a^3,a^3b,a^4,a^4b,a^5,a^5b,a^6,a^6b,a^7,a^7b}\} [/mm]
Irgendwie sind das doch die Elemente der Diedergruppe, aber wenn man sich die Relationen anguckt, kann das ja nicht sein (?).
Ist es hier möglich, Untergruppen zu finden? Könnte die für Normalteiler gebrauchen. Habe z.B. erstmal das Gefühl, dass die von dem Element a erzeugte Untergruppe ein Normalteiler sei, da der Index 2 wäre (ord(a)=8).
Jetzt fehlen noch Normalteiler, Zentrum, Kommutatorgruppen und Sylow-Gruppen.
Grüße
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Hallo imagemixer,
>
> also was ich bis jetzt rausgefunden habe sieht so aus:
>
> Ich kenne alle 16 Elemente meiner Gruppe und weiß also
> logischerweise, dass die Gruppe der Ordnung 16 ist.
>
> [mm]G:=\{{id,a,b,ab,a^{2},a^2b,a^3,a^3b,a^4,a^4b,a^5,a^5b,a^6,a^6b,a^7,a^7b}\}[/mm]
> Irgendwie sind das doch die Elemente der Diedergruppe, aber
> wenn man sich die Relationen anguckt, kann das ja nicht
> sein (?).
Genau. Was du hier beobachtest ist, dass sowohl die Diedergruppe als auch unsere Gruppe hier ein semidirektes Produkt aus [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] sind. Darum habe ich auch dazugesagt, dass eine Darstellung [mm] $G=\{\dots\}$ [/mm] nutzlos ist, wenn nicht mit angegeben ist, wie die Verknüpfung auf dieser Menge aussehen soll.
> Ist es hier möglich, Untergruppen zu finden? Könnte die
> für Normalteiler gebrauchen. Habe z.B. erstmal das
> Gefühl, dass die von dem Element a erzeugte Untergruppe
> ein Normalteiler sei, da der Index 2 wäre (ord(a)=8).
Ja, es ist nützlich, sich alle Untergruppen anzusehen, denn bis auf eine (welche? (trivial zu beantworten)) sind alle normal.
> Zentrum
Betrachte hierzu Kommutativität mit $y$.
> Kommutatorgruppen
Tipp: Jeder Kommutator lässt sich als Potenz von $x$ darstellen.
> und Sylow-Gruppen.
Trivial.
Liebe Grüße,
Universelles Objekt
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Hallo, danke.
> Produkt aus [mm]\IZ/2\IZ[/mm] und [mm]\IZ/8\IZ[/mm] sind. Darum habe ich auch
> dazugesagt, dass eine Darstellung [mm]G=\{\dots\}[/mm] nutzlos ist,
> wenn nicht mit angegeben ist, wie die Verknüpfung auf
> dieser Menge aussehen soll.
Es waren aber halt die Elemente der Gruppe gefragt; die brauchte ich.
> Ja, es ist nützlich, sich alle Untergruppen anzusehen,
> denn bis auf eine (welche? (trivial zu beantworten)) sind
> alle normal.
Muss ich mir nochmal angucken, komme nicht auf das triviale.
> > Zentrum
> Betrachte hierzu Kommutativität mit [mm]y[/mm].
Okay, hat sehr geholfen: Zentrum ist die von [mm] x^2 [/mm] erzeugte Untergruppe. Warum reicht es aber die Kommutativität mit dem Erzeuger bzw. den Erzeugern zu betrachten?
> > Kommutatorgruppen
> Tipp: Jeder Kommutator lässt sich als Potenz von [mm]x[/mm]
> darstellen.
Ja habe da etwas mit Modulo 4 rausbekommen, bei den Kommutatoren. Wie bilde ich aus denen die Kommutatorgruppe(bzw. -gruppen)?
> > und Sylow-Gruppen.
> Trivial.
>
Ist die Gruppe selbst ihre einzige Sylow-Gruppe? Da p=2 nur den Index [16:16]=1 nicht teilen würde, aber alle anderen Indizes der anderen Untergruppen schon.
liebe Grüße
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> > > Zentrum
> > Betrachte hierzu Kommutativität mit [mm]y[/mm].
> Okay, hat sehr geholfen: Zentrum ist die von [mm]x^2[/mm] erzeugte
> Untergruppe. Warum reicht es aber die Kommutativität mit
> dem Erzeuger bzw. den Erzeugern zu betrachten?
Man kann sich überlegen: Kommutiert $a$ mit $x$ und $y$, so auch mit $xy$, sowie [mm] $x^{-1}$
[/mm]
> > > Kommutatorgruppen
> > Tipp: Jeder Kommutator lässt sich als Potenz von [mm]x[/mm]
> > darstellen.
> Ja habe da etwas mit Modulo 4 rausbekommen, bei den
> Kommutatoren. Wie bilde ich aus denen die
> Kommutatorgruppe(bzw. -gruppen)?
Wenn du damit sagen möchtest, dass sich jeder Kommutator als Potenz von [mm] $x^4$ [/mm] darstellen lässt, musst du hiervon die erzeugte UG rausfinden. Auch das ist ziemlich leicht.
> > > und Sylow-Gruppen.
> > Trivial.
> >
> Ist die Gruppe selbst ihre einzige Sylow-Gruppe? Da p=2 nur
> den Index [16:16]=1 nicht teilen würde, aber alle anderen
> Indizes der anderen Untergruppen schon.
>
> liebe Grüße
>
Für jede Primteiler $p$ sei [mm] $p^n$ [/mm] die maximale Potenz von $p$, welche die Gruppenordnung teilt. Dann heißt eine UG der Ordnung [mm] $p^n$ [/mm] eine $p$-Sylow-UG. Wie viele Primteiler gibt es hier so? Falls du einen findest, was ist die höchste Potenz davon? Welche UG der Gruppe haben dies als Ordnung? (Dein Ergebnis ist richtig, aber deine Begründung sieht mir etwas unsicher aus.)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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