Preise bei U_{max} < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei Produkte [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] werden in den Mengen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] zu den Preisen [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] abgesetzt. Dabei fällt die Nachfrage mit steigenden Preisen nach dem Gesetz:
[mm] x_{1} [/mm] = 50 - [mm] 2p_{1} [/mm] - [mm] p_{2} [/mm] ; [mm] x_{2} [/mm] = 60 - [mm] p_{1} [/mm] - [mm] 3p_{2} [/mm] bei 0 [mm] \le p_{1},p_{2} \le [/mm] 10
Bei Welchen Preisen wird der größtmögliche Umsatz erzielt? |
Hi Leute,
ich habe folgende Aufgabe (hoffentlich *g*) gelöst und wollte einmal gerne das jemand von euch das Korrektur liest. Kann man da so rangehen, und sind die Ergebnisse korrekt?
Mein Ansatz:
-> U = Preis * Menge -> U = [mm] p_{1} [/mm] * [mm] x_{1} [/mm] + [mm] p_{2} [/mm] * [mm] x_{2}
[/mm]
-> [mm] U(p_{1},p_{2}) [/mm] = [mm] p_{1} [/mm] * (50 - [mm] 2p_{1} [/mm] - [mm] p_{2}) [/mm] + [mm] p_{2} [/mm] * (60 - [mm] p_{1} [/mm] - [mm] 3p_{2})
[/mm]
-> [mm] U(p_{1},p_{2}) [/mm] = [mm] 50p_{1} [/mm] - [mm] (2p_{1})^{2} [/mm] - [mm] p_{1}p_{2} [/mm] + [mm] 60p_{2} [/mm] - [mm] p_{1}p_{2} [/mm] - [mm] (3p_{2})^{2}
[/mm]
ein bissl sortieren jetzt:
-> [mm] U(p_{1},p_{2}) [/mm] = - [mm] (2p_{1})^{2} [/mm] - [mm] (3p_{2})^{2} [/mm] - [mm] 2(p_{1}p_{2}) [/mm] + [mm] 50p_{1} [/mm] + [mm] 60p_{2}
[/mm]
1.) Ableitungen:
-> [mm] U_{p_{1}} [/mm] = [mm] -4p_{1} [/mm] - [mm] 2p_{2} [/mm] + 50
-> [mm] U_{p_{1}p_{1}} [/mm] = -4
-> [mm] U_{p_{2}} [/mm] = [mm] -6p_{2} [/mm] - [mm] 2p_{1} [/mm] + 60
-> [mm] U_{p_{2}p_{2}} [/mm] = -6
-> [mm] U_{p_{1}p_{2}} [/mm] = -2
2.) Diskriminante:
-> [mm] D(p_{1},p_{2}) [/mm] = [mm] U_{p_{1}p_{1}} [/mm] * [mm] U_{p_{2}p_{2}} [/mm] - [mm] (U_{p_{1}p_{2}})^{2}
[/mm]
-> [mm] D(p_{1},p_{2}) [/mm] = (-4) * (-6) - [mm] (-2)^{2} [/mm] = 20 -> 20 > 0 -> D > 0 -> Extrema vorhanden
3.) Stationäre Stellen:
-> [mm] U_{p_{1}} [/mm] = 0 -> 0 = [mm] -4p_{1} [/mm] - [mm] 2p_{2} [/mm] + 50
-> [mm] U_{p_{2}} [/mm] = 0 -> 0 = [mm] -6p_{2} [/mm] - [mm] 2p_{1} [/mm] + 60
Gleichungssystem erstellen:
[mm] -4p_{1} [/mm] - [mm] 2p_{2} [/mm] + 50 = 0
[mm] 4p_{1} [/mm] + [mm] 12p_{2} [/mm] - 120 = 0
-> [mm] U'_{p_{2}} [/mm] = [mm] 10p_{2} [/mm] - 70 = 0 -> [mm] p_{2} [/mm] = 7
[mm] p_{2} [/mm] in [mm] U_{p_{1}} [/mm] einsetzen:
-> [mm] P_{1} [/mm] = 9 -> Stationäre Stelle bei S(9/7)
4.) Art der Extrema:
-> [mm] U_{p_{1}p_{1}} [/mm] = -4 -> -4 < 0 -> Maximum
Antwort: Bei den Preisen 9 und 7 wird der Umsatz maximiert!
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte! Ich wünsche euch schon mal ein sonniges WOE. Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Fr 27.04.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo Analytiker,
also einen Rechenfehler kann ich nicht finden, aber ich glaube bei 4. gibt's ne andere Formel. Irgendwas mit [mm] U_{p_1p_1}+U_{p_2p_2}-U_{p_1p_2}^2 [/mm] oder so ähnlich
Gruß
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Analytiker |
Hi Smarty,
danke für deine Antwort.
> also einen Rechenfehler kann ich nicht finden, aber ich
> glaube bei 4. gibt's ne andere Formel. Irgendwas mit
> [mm]U_{p_1p_1}+U_{p_2p_2}-U_{p_1p_2}^2[/mm] oder so ähnlich
Ja, diese Formel habe ich wie du sehen kannst für die zu
ermittelnde Diskriminante gebraucht... (siehe Punkt 2.)!
Gibt es denn noch einen besseren Weg, oder passt das so von der
"Arbeitseffizienz"?
Liebe Grüße
Analytiker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Fr 27.04.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo nochmal,
ich hatte mich vorhin vertan, die Formel wusste ich nicht mehr auswendig. Aber dein Vorgehen ist soweit richtig und schneller geht das kaum 
Ableitungen - notwendiges und hinreichendes Kriterium - Punkt [mm] F_{xx} [/mm] einsetzen und schauen ob größer oder kleiner 0.
Gruß
Smarty
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