Prim-Ideal und max.Ideal < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei i = [mm] \wurzel{-1} \in \IC [/mm] die imaginäre Einheit.
a)Bestimme den Kern des Ringhomomorphismus f: [mm] \IZ[X] \to \IC, [/mm] X [mm] \mapsto [/mm] i.
b) Zeige, dass der Kern aus a) ein Prim-Ideal ist, aber kein maximales Ideal. |
Hallo,
diesmal weiß ich echt nicht genau, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich hoffe, es kann mir da jemand mal auf die Sprünge helfen. 
Zu a) der Kern ist doch die Menge aller Elemente von [mm] \IZ[X], [/mm] die auf das neutrale Element von [mm] \IC [/mm] abgebildet werden.
Ich weiß aber hier nicht genau, ob das additive neutrale Element oder das multiplikative neutrale Element gemeint ist, und habe deswegen 2 Möglichkeiten für den Kern:
ker f ={X [mm] \in \IZ[X]| [/mm] f(X)= 0+0i=0} also das add.neutr.Element oder
ker f = {X [mm] \in \IZ[X]| [/mm] f(X)= 1+0i=1} also das mult.neutr.Element.
Welches ist hier gemeint? Oder lieg ich da total falsch, und der Kern ist was ganz anderes?
Zur b) Ich soll zeigen, dass der Kern aus a) ein Primideal ist, aber kein maximales Ideal.
Ich weiß, dass ker f ein Primideal ist, wenn [mm] \IZ/kerf [/mm] ein Integritätsring ist, d.h. wenn das Produkt Null ergibt, dann muss mindestens einer der Faktoren Null sein. Also hier auf den Fall bezogen: ([a]+kerf)*([b]+kerf)=0 gdw wenn einer der Faktoren Null ist. Aber wie wähle ich jetzt genau die speziellen Elemente in [mm] \IZ/ker [/mm] f? Ich kann mir darunter nicht viel vorstellen, als dass es Elemente der Gestalt "Äq.klasse+ker f" sind.
Weiter:
Wenn ich zeigen will, dass ker f kein maximales Ideal ist, dann muss ich doch zeigen, dass [mm] \IZ/ker [/mm] f kein Körper ist. (Denn es gilt ja allgemein die Äquivalenz: Ideal ist maximal gdw R/I ein Körper ist). Aber wie mache ich das genau? Wie muss ich hier vorgehen?
Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Danke,
Milka
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Hallo Milka,
> Sei i = [mm]\wurzel{-1} \in \IC[/mm] die imaginäre Einheit.
> a)Bestimme den Kern des Ringhomomorphismus f: [mm]\IZ[X] \to \IC,[/mm]
> X [mm]\mapsto[/mm] i.
> b) Zeige, dass der Kern aus a) ein Prim-Ideal ist, aber
> kein maximales Ideal.
> Hallo,
>
> diesmal weiß ich echt nicht genau, wie ich die Aufgabe
> lösen soll. Ich hoffe, es kann mir da jemand mal auf die
> Sprünge helfen.
> Zu a) der Kern ist doch die Menge aller Elemente von
> [mm]\IZ[X],[/mm] die auf das neutrale Element von [mm]\IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
abgebildet
> werden.
> Ich weiß aber hier nicht genau, ob das additive neutrale
> Element oder das multiplikative neutrale Element gemeint
> ist, und habe deswegen 2 Möglichkeiten für den Kern:
> ker f ={X [mm]\in \IZ[X]|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(X)= 0+0i=0} also das
> add.neutr.Element oder
> ker f = {X [mm]\in \IZ[X]|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(X)= 1+0i=1} also das
> mult.neutr.Element.
> Welches ist hier gemeint? Oder lieg ich da total falsch,
> und der Kern ist was ganz anderes?
Die 0 in $\IC$ ist gemeint.
> Zur b) Ich soll zeigen, dass der Kern aus a) ein Primideal
> ist, aber kein maximales Ideal.
> Ich weiß, dass ker f ein Primideal ist, wenn [mm]\IZ/kerf[/mm] ein
> Integritätsring ist, d.h. wenn das Produkt Null ergibt,
> dann muss mindestens einer der Faktoren Null sein. Also
> hier auf den Fall bezogen: ([a]+kerf)*(+kerf)=0 gdw wenn
> einer der Faktoren Null ist. Aber wie wähle ich jetzt genau
> die speziellen Elemente in [mm]\IZ/ker[/mm] f? Ich kann mir darunter
> nicht viel vorstellen, als dass es Elemente der Gestalt
> "Äq.klasse+ker f" sind.
> Weiter:
> Wenn ich zeigen will, dass ker f kein maximales Ideal ist,
> dann muss ich doch zeigen, dass [mm]\IZ/ker[/mm] f kein Körper ist.
> (Denn es gilt ja allgemein die Äquivalenz: Ideal ist
> maximal gdw R/I ein Körper ist). Aber wie mache ich das
> genau? Wie muss ich hier vorgehen?
Naja, wann hat eine Zahl [mm] $a+bi\quad [/mm] (a,b [mm] \in \IZ)$ [/mm] ein Inverses (in den ganzen Gaußschen Zahlen)? Es gibt genau 4 Einheiten; und denen entsprechen gerade die zugehörigen Nebenklassen nach $ker(f)$. Du brauchst also nur ein Elem. in [mm] $\IZ[x]/ker(f)$ [/mm] angeben, das nicht in $ker(f)$ liegt, aber kein Inverses hat.
Mfg
zahlenspieler
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Hallo zahlenspieler,
danke für deine Antwort, aber ich verstehe nicht ganz was du damit meinst.
Ker f={X [mm] \in \IZ[X]|f(X)=0}
[/mm]
Du hast geschrieben:
"Naja, wann hat eine Zahl a+bi (a,b [mm] \in \IZ) [/mm] ein Inverses (in den ganzen Gaußschen Zahlen)? Es gibt genau 4 Einheiten; und denen entsprechen gerade die zugehörigen Nebenklassen nach ker f . Du brauchst also nur ein Elem. in angeben, das nicht in liegt, aber kein Inverses hat."
Meinst du hier das mulitiplikative Inverse oder das additive Inverse? Wenn es ein Körper sein soll, ist doch bestimmt das multiplikative Inverse gemeint, oder? Dann existiert das Inverse, wenn (a+bi)*(c+di)=1 erfüllt wird.
Also a+bi= [mm] \bruch{1}{c+di}. [/mm] Also bin ich ja nicht mehr in [mm] \IZ. [/mm] Meinst du das damit? Dann ist [mm] \IZ/ker [/mm] f kein Körper. Kann man das so zeigen? Was meinst du mit den 4 Einheiten? Wie sehen Elemente in [mm] \IZ/ker [/mm] f aus? Weil wenn ich eben ([a]+kerf)*([b]+kerf)=0 [mm] \gdw [/mm] mind. einer der Faktoren Null ist zeigen will, muss ich das ja genau angeben.
Mir ist nicht ganz klar, was du mir sagen wills.
Kannst es bitte genauer sagen und auf meine Probleme eingehen?
Vielen Dank,
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 07.12.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei meinem Problem weiterhelfen? Ich komme leider nicht weiter, weil ich die Antwort von zahlenspieler überhaupt nicht richtig verstehen kann.
Wenn ich zeigen will, dass ker f kein Körper ist, dann müsste doch reichen, wenn ich zeige, dass es Elemente gibt, die nicht multiplikativ invertierbar sind, oder?
Es wäre schön, wenn jemand auf meine Schwierigkeiten in den vorherigen Postings eingehen könnte.
Vielen Dank,
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 08.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Es handelt sich um einen Ringhomomorphismus. Beim Ring [mm] \IC [/mm] ist das neutrale Element die 1. Der Kern der Abbildung sind also alle ganzzahligen Polynome, bei denen X durch i ersetzt, letztendlich 1 herauskommt.
Betrachte [mm] X^4. [/mm] Dieses Polynom wird auf 1 abgebildet. Folglich kannst du aufgrund der Homomorphie ein beliebiges ganzzahliges Polynom auf eines vom Grad kleiner 4 reduzieren.
Was mich irritiert, ist, dass auch z.B. [mm] X^2+2 [/mm] auf 1 abgebildet wird.
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Hallo otto,
also wird der Kern doch nicht auf die 0 abgebildet, sondern auf die 1?
> Es handelt sich um einen Ringhomomorphismus. Beim Ring [mm]\IC[/mm]
> ist das neutrale Element die 1. Der Kern der Abbildung sind
> also alle ganzzahligen Polynome, bei denen X durch i
> ersetzt, letztendlich 1 herauskommt.
>
> Betrachte [mm]X^4.[/mm] Dieses Polynom wird auf 1 abgebildet.
> Folglich kannst du aufgrund der Homomorphie ein beliebiges
> ganzzahliges Polynom auf eines vom Grad kleiner 4
> reduzieren.
Was meinst du damit genau? Kannst du mir das vll. besser erklären?
Wie finde ich ein Element im Quotientenring, das nicht invertierbar ist, damit [mm] \IZ/ker [/mm] f kein Körper ist?
Danke, Milka
> Was mich irritiert, ist, dass auch z.B. [mm]X^2+2[/mm] auf 1
> abgebildet wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 So 10.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
Ich denke, dass möglicherweise grundlegende Verständnisprobleme deinerseits vorliegen.
Zunächst ist [mm] \IZ[X] [/mm] die Menge aller Polynome [mm] \summe_{k=0}^{n}a_kX^k [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a_k\in\IZ [/mm] für alle k.
Wegen der Homomorphie gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_kX^k \mapsto \summe_{k=0}^{n}a_ki^k
[/mm]
Nun ist bekanntlich [mm] i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i [/mm] usw.
Folglich: [mm] \summe_{k=0}^{n}a_ki^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0; k gerade}^{n}a_k*(-1)^{\bruch{k}{2}} [/mm] + [mm] i*\summe_{k=0; k ungerade}^{n}a_k*(-1)^{\bruch{k-1}{2}}
[/mm]
Das ist die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil.
Hieraus erhältst du Bedingungen für die Koeffizienten der Polynome, die auf 1 abgebildet werden.
Unter anderem wird das Polynom 2X nicht auf 1 abgebildet, sondern auf 2i. So wie ich das sehe ist [mm] 2X\in\IZ[X]/ker(f) [/mm] und nicht invertierbar.
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