Primelement und Irreduzible < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In einem Hauptidealring sind die Primelemente genau die irreduziblen Elemente. |
Hallo!
Im Beweis zu diesem Satz steht als erster Satz:
"Wir müssen nur zeigen, dass jedes irreduzible Element ein Primelement ist."
Das heißt wohl, dass es offensichtlich sein sollte, dass ein Primelement im Hauptidealring irreduzibel ist, oder?
Salopp gesagt ist ein
- Primelement ein Element, das, wenn es ein Produkt teilt, auch mindestens einen der Faktoren teilt
- irreduzibles Element, ein Element, das nur durch ein Produkt dargestellt werden kann, bei dem ein Faktor eine Einheit ist
- Hauptidealring ein Ring, in dem alle Ideale Hauptideale sind, dh von nur einem Element aufgespannt werden.
Hab ich das richtig verstanden?
Irgendwie erschließt sich mir aus den Definitionen nicht, warum ein Primelement im HIR immer ein irreduzibles Element ist. Was übersehe ich? :-/
Liebe Grüße,
Lily
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 04.08.2016 | | Autor: | hippias |
> In einem Hauptidealring sind die Primelemente genau die
> irreduziblen Elemente.
> Hallo!
>
> Im Beweis zu diesem Satz steht als erster Satz:
> "Wir müssen nur zeigen, dass jedes irreduzible Element
> ein Primelement ist."
> Das heißt wohl, dass es offensichtlich sein sollte, dass
> ein Primelement im Hauptidealring irreduzibel ist, oder?
>
> Salopp gesagt ist ein
> - Primelement ein Element, das, wenn es ein Produkt teilt,
> auch mindestens einen der Faktoren teilt
> - irreduzibles Element, ein Element, das nur durch ein
> Produkt dargestellt werden kann, bei dem ein Faktor eine
> Einheit ist
> - Hauptidealring ein Ring, in dem alle Ideale Hauptideale
> sind, dh von nur einem Element aufgespannt werden.
>
> Hab ich das richtig verstanden?
Alles richtig.
>
> Irgendwie erschließt sich mir aus den Definitionen nicht,
> warum ein Primelement im HIR immer ein irreduzibles Element
> ist. Was übersehe ich? :-/
Rechne es einfach:
1. stelle ein Primelement als ein Produkt dar
2. wende die definierende Eigenschaft des Primelements an
3. kürze (warum geht das?)
4. schlussfolgere, dass einer der Faktoren eine Einheit ist
>
> Liebe Grüße,
> Lily
|
|
|
| |
|
Hallo!
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
> Rechne es einfach:
> 1. stelle ein Primelement als ein Produkt dar
Sei p=ab prim und teilt ab
>
> 2. wende die definierende Eigenschaft des Primelements an
ich bin mir nicht sicher, wie ich dies an dieser Stelle machen soll. Ich habe es mal so probiert:
[mm] \gdw \bruch{p}{p}=\bruch{ab}{p}=\bruch{a}{p}b
[/mm]
[mm] \gdw 1=\bruch{a}{p}b
[/mm]
>
> 3. kürze (warum geht das?)
[mm] \bruch{a}{p}=n [/mm] mit n [mm] \in \IZ, [/mm] da p | ab und daraus folgt dass p | a
>
> 4. schlussfolgere, dass einer der Faktoren eine Einheit
> ist
wir haben jetzt also stehen: 1=nb, also ist b eine Einheit
??
Irgendwie ist das doch nicht richtig, oder? Ich hab zB gar nicht verwendet, dass wir im HIR sind...?
Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
Liebe Grüße,
Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 05.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort!
>
> > Rechne es einfach:
> > 1. stelle ein Primelement als ein Produkt dar
>
> Sei p=ab prim und teilt ab
Besser: sei $p= ab$. Insbesondere teilt $p$ das Produkt $ab$.
> >
> > 2. wende die definierende Eigenschaft des Primelements an
>
> ich bin mir nicht sicher, wie ich dies an dieser Stelle
> machen soll.
Da $ab$ von $p$ geteilt wird etc.
> Ich habe es mal so probiert:
>
> [mm]\gdw \bruch{p}{p}=\bruch{ab}{p}=\bruch{a}{p}b[/mm]
> [mm]\gdw 1=\bruch{a}{p}b[/mm]
Vorsicht: $p$ besitzt sicher kein Inverses im Ring (sonst wäre $p$ nicht prim)!
>
> >
> > 3. kürze (warum geht das?)
Sei z.B. $a= pa'$. Dann ist $p= pa'b$. Wieso kann man jetzt $p$ kürzen?
>
> [mm]\bruch{a}{p}=n[/mm] mit n [mm]\in \IZ,[/mm] da p | ab und daraus folgt
> dass p | a
> >
Nein. Erstens glaube ich nicht, dass $R= [mm] \IZ$ [/mm] ist, sondern beliebiger. Aussderdem folgt aus $p|ab$ nicht unbedingt $p|a$; allenfalls folgt oBdA $p|a$.
> > 4. schlussfolgere, dass einer der Faktoren eine Einheit
> > ist
>
> wir haben jetzt also stehen: 1=nb, also ist b eine Einheit
Im Prinzip richtig.
>
> ??
> Irgendwie ist das doch nicht richtig, oder? Ich hab zB gar
> nicht verwendet, dass wir im HIR sind...?
Die Aussage prim [mm] $\Rightarrow$ [/mm] irreduzibel gilt allgemeiner. Die Umkehrung braucht die schärfere Bedingung.
>
> Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
>
> Liebe Grüße,
> Lily
>
|
|
|
| |
|
Aha! Ich glaube, ich habe es verstanden. Zur Sicherheit:
Behauptung: in einem Hauptidealring R ist jedes Primelement irreduzibel.
Beweis:
Sei p=ab. Insbesondere gilt: p|ab und p ist prim.
Da p prim kann man oBdA annehmen: p|a.
Daraus folgt: es ex. ein a' [mm] \in [/mm] R sodass: a=pa'
Multipliziere beide Seiten mit b: [mm] \Rightarrow [/mm] ab=pa'b
Da p=ab: [mm] \Rightarrow [/mm] p=pa'b.
Nun kann man p kürzen, da p [mm] \not= [/mm] 0 (Def. von prim) und wegen der Kürzungsregel in Integritätsringen.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1=a'b
Und damit ist b eine Einheit, wodurch die Irreduzibilität bewiesen wurde.
Stimmt das so?
Und das heißt, die Behauptung gilt in allen Integritätsringen, da man nur die Nullteilerfreiheit braucht, oder?
Liebe Grüße,
Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 05.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Aha! Ich glaube, ich habe es verstanden. Zur Sicherheit:
>
> Behauptung: in einem Hauptidealring R ist jedes Primelement
> irreduzibel.
>
> Beweis:
> Sei p=ab. Insbesondere gilt: p|ab und p ist prim.
> Da p prim kann man oBdA annehmen: p|a.
> Daraus folgt: es ex. ein a' [mm]\in[/mm] R sodass: a=pa'
> Multipliziere beide Seiten mit b: [mm]\Rightarrow[/mm] ab=pa'b
> Da p=ab: [mm]\Rightarrow[/mm] p=pa'b.
> Nun kann man p kürzen, da p [mm]\not=[/mm] 0 (Def. von prim) und
> wegen der Kürzungsregel in Integritätsringen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1=a'b
> Und damit ist b eine Einheit, wodurch die Irreduzibilität
> bewiesen wurde.
>
> Stimmt das so?
Das ist alles in Ordnung.
>
> Und das heißt, die Behauptung gilt in allen
> Integritätsringen, da man nur die Nullteilerfreiheit
> braucht, oder?
Ja.
>
> Liebe Grüße,
> Lily
Das war der Teil, der von den Autoren als trivial angesehen wurde...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Sa 06.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
> Das war der Teil, der von den Autoren als trivial angesehen
> wurde...
Wie schön -.-
Vielen Dank für deine Hilfe bei dieser trivialen Aufgabe 
|
|
|
|
