Primelemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 So 26.10.2008 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:
[mm] \IZ[i]/(p) \cong \IZ/p[x]/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1) [/mm] |
Ich habe gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich denke aber , dass man irgendwie mit irreduziblen Elementen arbeiten könnte...!
Kann mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen? Wäre sehr froh.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Mo 27.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:
>
> [mm]\IZ[i]/(p) \cong \IZ/p[x]/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1)[/mm][/i][/mm]
>
> [mm][i] Ich [/i][/mm]
> [mm][i]habe gerade überhaupt keine Ahnung, wie ich an diese [/i][/mm]
> [mm][i]Aufgabe herangehen soll. Ich denke aber , dass man [/i][/mm]
> [mm][i]irgendwie mit irreduziblen Elementen arbeiten könnte...![/i][/mm]
> [mm][i] Kann mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen? Wäre [/i][/mm]
> [mm][i]sehr froh.[/i][/mm]
Irreduzible Elemente brauchst du hier nicht. Du kannst diese Aufgabe viel abstrakter formulieren, wenn du [mm] $\IZ[i] \cong \IZ[x]/(x^2+1)$ [/mm] beachtest:
Sei $R$ ein Ring und $f, g [mm] \in [/mm] R$. Dann ist $( R/(f) ) / (g)$ isomorph zu $R / (f, g)$.
Wende das jetzt mit $R = [mm] \IZ[x]$, [/mm] $f = [mm] x^2 [/mm] + 1$ und $g = p$ (und einmal mit $f, g$ vertauscht) an, dann hast du deine Behauptung.
Und wie man das jetzt zeigt? Schau dir z.B. den Ringhomomorphismus $R [mm] \to [/mm] (R/(f))/(g)$ an und zeige, dass der Kern gerade $(f, g)$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 27.10.2008 | | Autor: | one |
hallo,
vielen dank vorerst mal für die Anwort.
Zwei Fragen hätte ich aber noch:
Sei [mm] \varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/(f)/(g) ein Ringhomomorphismus.
Ich zeige nun, dass Ker [mm] \varphi [/mm] = (f,g) ist.
Zuerst diese Richtung [mm] \supseteq:
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] (f,g) = [mm] \varphi(r*f, [/mm] s*g) , mit r , s [mm] \in [/mm] R.
[mm] \varphi(r*f, [/mm] s*g) = [r*f, s*g]/(f)/(g) = (0,0).
Doch wie könnte ich den letzten Schritt noch ein wenig präzisieren?
Und die andere Richtung weiss ich nicht genau, wie ich da vorgehen soll...?
Dann noch die andere Frage:
Wenn ich nun [mm] R=\IZ[x] [/mm] , f = [mm] x^2 [/mm] +1 und g = p einsetze , erhalte ich dann die eine gewünsche Gleichheit. Nämlich [mm] \IZ[x]/(x^2+1)/(p) \cong \IZ[i]/(p) \cong \IZ[x]/(x^2+1,p).
[/mm]
Doch wenn ich nun f und g vertausche, erhalte ich nicht genau noch die andere Gleichheit, sondern:
[mm] \IZ[x]/(p)/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1).
[/mm]
Doch ich brauche [mm] \IZ[x]/p[x]/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1).
[/mm]
Wie komme ich also noch zum p[x]?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zwei Fragen hätte ich aber noch:
>
> Sei [mm]\varphi[/mm] : R [mm]\to[/mm] R/(f)/(g) ein Ringhomomorphismus.
>
> Ich zeige nun, dass Ker [mm]\varphi[/mm] = (f,g) ist.
>
> Zuerst diese Richtung [mm]\supseteq:[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] (f,g) = [mm]\varphi(r*f,[/mm] s*g) , mit r , s [mm]\in[/mm] R.
Was machen die $r$ und $s$ da ploetzlich? Und seid wann will [mm] $\varphi$ [/mm] zwei Parameter haben?!
> [mm]\varphi(r*f,[/mm] s*g) = [r*f, s*g]/(f)/(g) = (0,0).
> Doch wie könnte ich den letzten Schritt noch ein wenig
> präzisieren?
Das macht so keinen Sinn. Du musst ein Element aus [mm] $\ker \varphi$ [/mm] nehmen, also ein $t [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $\varphi(t) [/mm] = 0$, und zeigen dass $t [mm] \in [/mm] (f, g)$ liegt.
> Und die andere Richtung weiss ich nicht genau, wie ich da
> vorgehen soll...?
Die ist einfacher. Nimm etwas aus $(f, g)$ und zeige, dass es durch [mm] $\varphi$ [/mm] auf 0 abgebildet wird.
> Wenn ich nun [mm]R=\IZ[x][/mm] , f = [mm]x^2[/mm] +1 und g = p einsetze ,
> erhalte ich dann die eine gewünsche Gleichheit. Nämlich
> [mm]\IZ[x]/(x^2+1)/(p) \cong \IZ[i]/(p) \cong \IZ[x]/(x^2+1,p).[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Doch wenn ich nun f und g vertausche, erhalte ich nicht [/i][/mm]
> [mm][i]genau noch die andere Gleichheit, sondern:[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i][mm]\IZ[x]/(p)/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1).[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Doch ich brauche [mm]\IZ[x]/p[x]/(x^2+1) \cong \IZ[x]/(p,x^2+1).[/mm][/i][/mm]
Das ist Schwachsinn. Du meints [mm] $\IZ[x] [/mm] / p [mm] \IZ[x]$ [/mm] und nicht [mm] $\IZ[x] [/mm] / p[x]$; das $p[x]$ macht gar keinen Sinn.
Zeige doch einfach, dass fuer einen Ring $R$ und ein Element $f$ die Abbildung $R[x] [mm] \to [/mm] (R/(f))[x]$ den Kern $f R[x]$ hat; daraus folgt, dass $R[x] / f R[x] [mm] \cong [/mm] (R / (f)) [x]$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 29.10.2008 | | Autor: | one |
Hallo,
ja genau, habe auch gerade bemerkt, dass das mit dem p[x] schwachsinn ist. Habe es zuerst falsch interpretiert. Doch nun ists klar.
Um zu zeigen, dass Ker [mm] \varphi [/mm] = (f, g) ist, bin ich folgendermassen vorgegangen.
Die eine Richtung:
Sei r [mm] \in [/mm] R, dann r* + r*g [mm] \in [/mm] (f,g) , stimmt das? oder wie sieht genau ein Element aus dem Ideal (f, g) aus?
Also: [mm] \varphi(r*f [/mm] + r*g) = (r*f + r*g)/(f)/(g) = 0.
Doch für die andere Richtung habe ich leider gerade nicht so eine Idee...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 29.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ja genau, habe auch gerade bemerkt, dass das mit dem p[x]
> schwachsinn ist. Habe es zuerst falsch interpretiert. Doch
> nun ists klar.
>
> Um zu zeigen, dass Ker [mm]\varphi[/mm] = (f, g) ist, bin ich
> folgendermassen vorgegangen.
>
> Die eine Richtung:
>
> Sei r [mm]\in[/mm] R, dann r* + r*g [mm]\in[/mm] (f,g) , stimmt das? oder wie
Das soll wohl $r * f + r *g$ heissen, oder?
> sieht genau ein Element aus dem Ideal (f, g) aus?
Nun, das ist natuerlich ein Element aus dem Ideal, aber es gibt noch viel mehr. Etwa $r * f + r' * g$ mit $r, r' [mm] \in [/mm] R$.
> Also: [mm]\varphi(r*f[/mm] + r*g) = (r*f + r*g)/(f)/(g) = 0.
Und wieso gilt das letzte Gleichheitszeichen? Das musst du schon etwas begruenden!
> Doch für die andere Richtung habe ich leider gerade nicht
> so eine Idee...
Was bedeutet es denn, dass ein Element aus $R/(f)$, sagen wir mal $h + (f)$, in $(R/(f)) / (g)$ gleich 0 ist? Es ist doch dann von der Form $g [mm] \cdot [/mm] h' + (f)$ mit $h' [mm] \in [/mm] R/(f)$; es ist also $h - g [mm] \cdot [/mm] h' [mm] \in [/mm] (f)$.
Was kannst du jetzt ueber $h - g [mm] \cdot [/mm] h'$ aussagen, und damit ueber $h$?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mi 29.10.2008 | | Autor: | one |
Hallo,
>
> Das soll wohl [mm]r * f + r *g[/mm] heissen, oder?
>
ja sorry, habe mich vertippt.
Danke für deine Antwort. Werde mir das alles nun durch den Kopf gehen lassen. 
Grüsse, one
|
|
|
|
