Primelemente und Euklid Algor < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Do 26.01.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | Sei [mm] M=10001=100^{2}+1=76^{2}+65^{2}. [/mm] Bestimme die gewöhnlichen Primfaktoren von M mittels des Euklidischen Algorithmus für a=100+i und b=76+65i. Gib eine Faktorisierung von M in Primelemente von [mm] \IZ[i] [/mm] an.
[mm] (\IZ[i]=\{w+zi:w,z \in \IZ\}) [/mm] |
Der gewöhnliche Euklidische Algorithmus ist wohl bekannt. Jedoch weiß ich nicht, was ich hier eigentlich machen soll.
Ich würde wohl auch noch den größten gemeinsamen Teiler von a und b im Euklidischen Ring [mm] (\IZ[i],N) [/mm] mit [mm] N(x+yi)=x^{2}+y^{2} [/mm] bestimmen können. Allerdings verwirrt mich hier der Begriff des Primfaktors. Was sind denn "gewöhnlichen Primfaktoren"? Und was ist der Unterschied zu einem "Primelement"?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich die aufgabe verstehe sollst du einerseit 10001=73*137 bestimmen, aber über den Weg der Zerlegung der beiden komplexen Zahlen mit dem Betragsquadrat M, und du sollst
die Zerlegung von M in komplexe "Primelemente"!
triviales Beispiel 2=2 Prim in [mm] \IZ [/mm] 2=(1+i)*(1-i) in $ [mm] \IZ[i] [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 26.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Wie kann man denn, wenn ich ggT(a,b) bestimme daraus auf die Primelemente von M schließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast
(100+i)*(100-i)=(76+65i)*(76-65i)
du findest ggT(a,b)=1 dann musst du [mm] ggT(a,\overline{b} [/mm] bestimmen.
a und b durch denn ggT teilen, ergibt dann a,b und die konj komplexen als Produkt, Die Faktoren stellen sich als prim in [mm] \IZ[i] [/mm] raus. ihre Betragsquadrate geben die ganzen Teiler von 10001. die Primfaktorzerlegung hast du damit auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 26.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Ich kann dir leider nicht ganz folgen :( Kannst du das etwas genauer erklären? Warum ist das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ggT(a,b)=1
[mm] ggT(a,\overline{b})=p
[/mm]
daraus : a=p*q [mm] \overline{b}=p*r \overline{a}=\overline{p}*\overline{q} b=\overline{p}*\overline{r}
[/mm]
[mm] 10001=|a|^2=|p|^2*|q|^2 [/mm] das gibt die 137 und 73 beides Primzahlen
entsprechend [mm] |b|^2 [/mm] muss dasselbe Ergebnis haben
aber p musst du erst mal ausrechnen, daraus q und r
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 26.01.2012 | | Autor: | Blubie |
wieso ist [mm] \overline{b}=p*r*\overline{a} [/mm] und was ist r?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wieso ist [mm]\overline{b}=p*r*\overline{a}[/mm] und was ist r?
Da fehlt ein Zwischenraum
[mm] ggT(a,\overline{b})=p
[/mm]
daraus : a=p*q
$ [mm] \overline{b}=p\cdot{}r [/mm] $
was r ist sollte klar sein, man kann [mm] \overline{b}=p*r [/mm] ; r ganz schreiben, weil es durch p teilbar ist.
[mm] \overline{a}=\overline{p}\cdot{}\overline{q}
[/mm]
[mm] $b=\overline{p}\cdot{}\overline{r} [/mm] $
$ [mm] 10001=|a|^2=|p|^2\cdot{}|q|^2 [/mm] $ das gibt die 137 und 73 beides Primzahlen
entsprechend $ [mm] |b|^2 [/mm] $ muss dasselbe Ergebnis haben
aber p musst du erst mal ausrechnen, daraus q und r
ich hab meinen Schrieb nochmal kopiert und deutlicher getrennt
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Blubie |
Vielen Dank. Jetzt habe ich es verstanden :)
Eine weitere Frage ist noch: Ist es beim Euklidischen Algorithmus allgemein egal, ob am Anfang bei der Form a=bq+r die Norm von b größer ist als a? In meinem Satz im Skript steht darüber nämlich leider nichts :(
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit |a|<|b| wird das Verfahren nicht falsch, aber unnötig verlängert,
dagegen man sollte |r|<|q| hinkriegen sonst wird das Verfahren auch verlängert.
Welche primfaktoren hast du raus?
gruss leduart
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