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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 04.10.2012 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Sei n=9999...999=10^100 -1
Geben Sie 3 Primzahlen an, die n teilen. |
Hallo. Ich weiß einfach nicht wie diese Aufgabe lösen soll.
3 und 11 teilen n aber wie komme ich auf die dritte Primzahl?
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Hallo xtraxtra,
> Sei n=9999...999=10^100 -1
> Geben Sie 3 Primzahlen an, die n teilen.
> Hallo. Ich weiß einfach nicht wie diese Aufgabe lösen
> soll.
> 3 und 11 teilen n
Korrrrekt.
> aber wie komme ich auf die dritte
> Primzahl?
Dritte binomische Formel:
[mm] 10^{100}-1=(10^{50}+1)(10^{50}-1)=(10^{50}+1)(10^{25}+1)(10^{25}-1)
[/mm]
Hast Du eine Idee?
Und ganz abseits dieses Tipps probier mal 101. 
Da [mm] 100=2^2*5^2 [/mm] ist, ist [mm] 10^{100}-1 [/mm] auf jeden Fall teilbar durch [mm] 10^k-1 [/mm] mit [mm] $k\in\{1,2,4,5,10,25,50\}$. [/mm] Und z.B. 9999 kann man ja noch leicht zu Fuß zerlegen.
Grüße
reverend
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> Sei n=9999...999=10^100 -1
> Geben Sie 3 Primzahlen an, die n teilen.
> Hallo. Ich weiß einfach nicht wie diese Aufgabe lösen
> soll.
> 3 und 11 teilen n aber wie komme ich auf die dritte
> Primzahl?
Wie viele Dezimalstellen hat n ?
Für welche k ist n teilbar durch [mm] a_k=\underbrace{111...1}_{k\ Stellen} [/mm] ?
Dann suche nach Primteilern derartiger Zahlen [mm] a_k [/mm] !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 05.10.2012 | | Autor: | xtraxtra |
@reverend: Leider habe ich nicht wirklich eine gute Idee. Das mit der dritten Binomischen Formal habe ich verstanden, allerdings weiß ich nicht wie ich jetzt bei [mm] 10^{25}-1 [/mm] weiter machen soll, denn ab jetzt würden dann ja Wurzeln vorkommen.
@Al-Chwarizmi: n hat 100 Dezimalstellen.
Wie kann ich prüfen, ob n druch k teilbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 05.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
hast Du denn verstanden, warum 101 ein Teiler Deiner Zahl sein muss?
Erst einmal kann man ja schließen, dass 9999 ein Teiler ist, und [mm] 9999=3^2*11*101.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Fr 05.10.2012 | | Autor: | xtraxtra |
Vielen Dank. Das habe ich verstanden. Hiermit ist die Frage beantwortet. Danke ihr beiden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Fr 05.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo xtraxtra,
[mm] 10^{100}-1=3^2*11*41*101*251*271*3.541*5.051*9.091*21.401*25.601*27.961*
[/mm]
$*60.101*7.019.801*182.521*213.001*14.103.673.319.201*78.875.943.472.201*$
$*1.680.588.011.350.901$
Leider hat man in der Klausur kein Werkzeug dabei, das einem eine solche Faktorisierung vornimmt. Aber immerhin kann man finden, dass:
101 ein Teiler von [mm] 10^{50}+1 [/mm] und von [mm] 10^4-1 [/mm] ist;
41 ein Teiler von [mm] 10^5-1 [/mm] ist (schon mühsamer, aber dafür findet man zugleich die 271).
Grüße
reverend
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> @Al-Chwarizmi: n hat 100 Dezimalstellen.
Richtig.
> Wie kann ich prüfen, ob n durch k teilbar ist?
Da man 100 durch so viele ganze Zahlen teilen kann,
ist leicht zu sehen, dass n durch [mm] a_k=\underbrace{111...1}_{k\ Stellen}
[/mm]
ist, wenn immer k ein Teiler von 100 ist. Probier das
einfach mit gewöhnlicher schriftlicher Division aus,
und du siehst, warum es klappen muss !
In Frage kommen
für k also die Werte 1,2,4,5,10,25,50,100.
Da du die Primteiler 3 und 11 schon hast, kannst du
also weiter suchen, was für Primteiler etwa in den
Zahlen 1111, 11111, 1111111111 stecken. Da du
nur noch einen weiteren brauchst, zerlegst du am
besten mal 1111 in Primfaktoren und kommst damit
schon zum gewünschten Ziel. Wäre noch ein Prim-
faktor mehr gesucht, würdest du den unter den
Teilern von 11111 finden. Auch diese Aufgabe wäre
noch zumutbar !
LG Al-Chw.
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