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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Kann mir jemand helfen?
Es seien a,b,c natürliche Zahlen. Zeigen Sie mittels Primfaktorzerlegungen:
(a) [mm] a^{2} [/mm]| [mm] b^{2} [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] a|b
(b) a|c [mm] \wedge [/mm] b|c [mm] \wedge [/mm] ggT(a,b)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] ab|c
[Überlegen Sie jeweils, welche Auswirkungen die Voraussetzungen auf die Primfaktorzerlegungen von a,b, (c) haben!]
(Der senkrechte Strich | heißt "teilt" - für den Fall, dass das unbekannt sein sollte)
Bitte helft mir, ich komme so gar nicht damit klar.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Do 04.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sandycgn!
Sind
$a= [mm] \prod\limits_{p \in P} p^{\omega_p(a)}$
[/mm]
und
$b= [mm] \prod\limits_{p \in P}p^{\omega_p(b)}$
[/mm]
die kanonischen Primfaktorzerlegungen von $a$ und $b$ (hierbei gibt also [mm] $\omega_p(a)$ [/mm] an, mit welchem Exponenten eine Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung vorkommt; Beispiel: [mm] $a=48=2^4 \cdot [/mm] 3 [mm] \Rightarrow \omega_2(a)=4, \omega_3(a)=1$), [/mm] dann gilt genau dann
$a [mm] \vert [/mm] b$,
wenn für alle Primzahlen $p [mm] \in [/mm] P$ gilt:
[mm] $\omega_p(a) \le \omega_p(b)$.
[/mm]
(Mach dir das bitte "anschaulich" klar.)
Wir haben in der ersten Aufgabe
[mm] $a^2=\left( \prod\limits_{p \in P} p^{\omega_p(a)}\right)^2 [/mm] = [mm] \prod\limits_{p \in P} p^{2\omega_p(a)}$
[/mm]
und
[mm] $b^2= \left(\prod\limits_{p \in P}p^{\omega_p(b)}\right)^2 [/mm] = [mm] \prod\limits_{p \in P} p^{2\omega_p(b)}$ [/mm]
also folgt nach der obigen Bemerkung aus [mm] $a^2 \vert b^2$ [/mm] gerade für alle Primzahlen $p [mm] \in [/mm] P$:
$= 2 [mm] \omega_p(a) [/mm] = [mm] \omega_p(a^2) \le \omega_p(b^2) [/mm] = 2 [mm] \omega_p(b)$,
[/mm]
also:
[mm] $\omega_p(a) \le \omega_p(b)$,
[/mm]
und damit -wiederum gemäß der obigen Bemerkung- :
$a [mm] \vert [/mm] b$.
Willst du die zweite Aufgabe jetzt zunächst mal selber versuchen?
Beachte dabei bitte (als Tipp):
[mm] $\ggT(a,b) [/mm] = [mm] \prod\limits_{p \in P} p^{\min(\omega_p(a),\omega_p(b))}$.
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] $\min(\omega_p(a),\omega_p(b))$ [/mm] für alle $p [mm] \in [/mm] P$ im Falle [mm] $\ggT(a,b)=1$?
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 04.11.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Hallo!
Vielen, vielen Dank für die Aufgabenlösung. Ich habe sie soweit nachvollziehen können.
Aber trotzdem komme und komme ich bei der zweiten Aufgabe nicht weiter.
Wenn der ggT(a,b) = 1 ist, dann sind a und b teilerfremd, also a teilt nicht b.
a|c bedeutet ja: [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \gamma_{i} [/mm]
gleiches dann auch für b|c.
Jetzt weiß ich ber nicht, wie ich das mit dem ggT(a,b)=1 miteinbeziehen soll bzw. kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn!
> Aber trotzdem komme und komme ich bei der zweiten Aufgabe
> nicht weiter.
>
> Wenn der ggT(a,b) = 1 ist, dann sind a und b teilerfremd,
> also a teilt nicht b.
>
> a|c bedeutet ja: [mm]\alpha_{i}[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\gamma_{i}[/mm]
>
> gleiches dann auch für b|c.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich ber nicht, wie ich das mit dem ggT(a,b)=1
> miteinbeziehen soll bzw. kann...
Schaue dir doch mal die Primfaktorenzerlegung von a*b an.
Ich behaupte mal, dass mit deinem obigen Kriterium für die Teilbarkeit sehr schnell zeigen kann, dass ab|c.
Dazu ist die Voraussetzung ggT(a,b)=1 sehr wichtig...
Kommst du mit diesem Tipp alleine weiter? Falls nicht, frage bitte nach.
VIele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Danke erstmal.
Ich hab zwar etwas raus, aber das kann so nicht richtig sein:
$a|c$ [mm] $\Rightarrow$ $\alpha_{i}$ $\le$ $\gamma_{i}$
[/mm]
$b|c$ [mm] $\Rightarrow$ \beta_{i} $\le$ $\gamma_{i}$
[/mm]
$ab|c$ [mm] $\Rightarrow$ $\alpha_{i}$ [/mm] $*$ [mm] $\beta_{i}$ $\le$ $\gamma_{i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $ab|c$
Aber im letzten Schritt habe ich ja einen Fehler gemacht, denn ich habe von der Behauptung geschlussfolgert. Ich habe echt keine Ahnung, wie ich den Beweis korrekt führen soll.
Ich kann den Beweis mittels Darstellung in Linearkombination der Zahlen a und b führen, aber das hat ja nichts mit der Primfaktorzerlegung zu tun.
Aber ich hab meiner Meinung nach hier nicht berücksichtigt,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 07.11.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Hey, Marc!
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich hab alles nachvollziehen können.
Den Schritt mit der Fallunterscheidung hab ich nicht bedacht.
Danke nochmal!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
