Primideal durch Ideale def. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und [mm] P(\not= [/mm] R) ein Ideal von R. Beweisen Sie dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) P ist ein Primideal
(ii) Sind I,J Ideale und I*J [mm] \subseteq [/mm] P, so ist [mm] I\subseteq [/mm] P oder J [mm] \subseteq [/mm] P. |
Hallo
Ich hab hier ein Bsp, indem mir absolut die Idee fehlt.
Also [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii) ist trivial:
[mm] $\forall i\in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J$ mit $i*j [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] i [mm] \in [/mm] P [mm] \vee [/mm] j [mm] \in [/mm] P$, d.h. [mm] I\subseteq [/mm] P [mm] \vee J\subseteq [/mm] P.
[mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (i)
Nach Voraussetzung ist [mm] P\not= [/mm] R
Seien a,b [mm] \in [/mm] R mit [mm] ab\in [/mm] P.
ZuZeigen: [mm] a\in [/mm] P [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] P
Wenn [mm] a\in [/mm] I, [mm] b\in [/mm] J ist sind wir fertig.
Ich hab versucht das letzte Bsp zu benutzen:
P Primideal [mm] \gdw R\setminus [/mm] P multiplikativ [mm] ist(1\in R\setminus [/mm] P, [mm] ab\in R\setminus [/mm] P [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in R\setminus [/mm] P.)
oder die in der Vorlesung bewiesene Äquivalenz:
P Primideal [mm] \gdw [/mm] R/P ein Integritätsbereich ist
Leider ohne Erfolg.
Ich weiß nicht was mir die Voraussetzung mit den Idealen I,J bringt. Also wie ich sie einsetzen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 18.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und [mm]P(\not=[/mm] R) ein
> Ideal von R. Beweisen Sie dass die folgenden beiden
> Aussagen äquivalent sind:
> (i) P ist ein Primideal
> (ii) Sind I,J Ideale und I*J [mm]\subseteq[/mm] P, so ist
> [mm]I\subseteq[/mm] P oder J [mm]\subseteq[/mm] P.
> [mm](ii)\Rightarrow[/mm] (i)
Wenn p [mm] \in [/mm] P, dann pR [mm] \subset [/mm] P, weil P ein Ideal ist. Und weil R kommutativ mit 1 ist, ist abR = aRbR. Usw.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
[mm] $abR\subseteq [/mm] abRR$
weil Einselement in R
$abR [mm] \supseteq [/mm] abRR$
weil R abgeschlossen unter Multiplikation
[mm] $\Rightarrow [/mm] abR=abRR [mm] \overbrace{=}^{\mbox{kommutativität}} [/mm] aRbR$
Sei a,b [mm] \in [/mm] R mit $ab [mm] \in [/mm] P$.
Da P Ideal folgt $abR [mm] \in [/mm] P$. Aus obigen folgt [mm] $aRbR\in [/mm] P$
Definiere
I:=(a)=aR
J:=(b)=bR
Die Multiplikation von zwei Idealen ist definiert als endliche Summe von Elementen aus IJ:
[mm] I*J=\{x_1y_1+..+x_ny_n|n\ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,..,y_n \in J\}
[/mm]
Also aRbR [mm] \in [/mm] I*J
Nach Voraussetzung gilt: [mm] aR=I\subseteq [/mm] P [mm] \vee [/mm] bR= [mm] J\subseteq [/mm] P
Da R ein Ring mit Einselement ist folgt [mm] a=a*1\in [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] P [mm] \Rightarrow a\in [/mm] P bzw. b=b*1 [mm] \in [/mm] J [mm] \subseteq [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \in [/mm] P.
Passt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 18.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> [mm]abR\subseteq abRR[/mm]
> weil Einselement in R
>
> [mm]abR \supseteq abRR[/mm]
> weil R abgeschlossen unter
> Multiplikation
>
> [mm]\Rightarrow abR=abRR \overbrace{=}^{\mbox{kommutativität}} aRbR[/mm]
Es ist überhaupt bei kommutativen Ringen mit 1 R = [mm] R^{2}. [/mm] Und die Linksideale sind die Rechtsideale.
>
> Sei a,b [mm]\in[/mm] R mit [mm]ab \in P[/mm].
> Da P Ideal folgt [mm]abR \in P[/mm].
Muß heißen abR [mm] $\subset$ [/mm] P.
> Aus obigen folgt [mm]aRbR\in P[/mm]
...aRbR [mm] $\subset$ [/mm] P
> Definiere
> I:=(a)=aR
> J:=(b)=bR
>
> Die Multiplikation von zwei Idealen ist definiert als
> endliche Summe von Elementen aus IJ:
> [mm]I*J=\{x_1y_1+..+x_ny_n|n\ge 0, x_1,..,x_n \in I, y_1,..,y_n \in J\}[/mm]
>
> Also aRbR [mm]\in[/mm] I*J
Nach Lage der Dinge ist aRbR = [mm] I$\cdot$J
[/mm]
> Nach Voraussetzung gilt: [mm]aR=I\subseteq[/mm] P [mm]\vee[/mm] bR=
> [mm]J\subseteq[/mm] P
> Da R ein Ring mit Einselement ist folgt [mm]a=a*1\in[/mm] I
> [mm]\subseteq[/mm] P [mm]\Rightarrow a\in[/mm] P bzw. b=b*1 [mm]\in[/mm] J [mm]\subseteq[/mm] P
> [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\in[/mm] P.
Textuell wäre da noch manches zu verbessern.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Korrektur. Stimmt da gehört überall ein Teilmengen-zeichen! Schwerer Fehler von mir.
> Nach Lage der Dinge ist aRbR = I$ [mm] \cdot [/mm] $J
Ich verstehe das nicht.
Einerseits multipliziere ich bei aRbR=(a)*(b) zwei Ideale. Aber andererseits ist das ja gar nicht die Multiplikation denn die Multiplikation ist wie schon gesagt anders definiert als [mm] (a)*(b)=\{ar_1b\overline{r_1}+..+ar_n b\overline{r_n}|r_1,..,r_n, \overline{r_1},..,\overline{r_2} \in R\}. [/mm] Also müsste doch nur [mm] aRbR\subseteq [/mm] (a)*(b) und keine Gleichheit gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Do 19.02.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> > Nach Lage der Dinge ist aRbR = I[mm] \cdot [/mm]J
> Ich verstehe das nicht.
> Einerseits multipliziere ich bei aRbR=(a)*(b) zwei Ideale.
> Aber andererseits ist das ja gar nicht die Multiplikation
> denn die Multiplikation ist wie schon gesagt anders
> definiert als [mm](a)*(b)=\{ar_1b\overline{r_1}+..+ar_n b\overline{r_n}|r_1,..,r_n, \overline{r_1},..,\overline{r_2} \in R\}.[/mm]
> Also müsste doch nur [mm]aRbR\subseteq[/mm] (a)*(b) und keine
> Gleichheit gelten.
Es ist (natürlich) aRbR = [mm] (aR)$\cdot$(bR) [/mm] gemeint. Aber dann ist [mm] (aR)$\cdot$(bR) [/mm] = [mm] $\{\summe_{i=1}^{n}$a$r_{i}$b$r_{i}$'$\}$ [/mm] = [mm] $\{\summe_{i=1}^{n}$ab$r_{i}r_{i}$'$\}$ [/mm] = [mm] $\{$ab$\summe_{i=1}^{n}r_{i}r_{i}$'$\}$ [/mm] = abR. Oder kürzer [mm] (a)$\cdot$(b) [/mm] = (ab)
Und wenn aR = I und bR = J ist, dann ist offenbar [mm] (aR)$\cdot$(bR) [/mm] = [mm] I$\cdot$J.
[/mm]
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo danke für die Erklärung.
Ich hab das Bsp nochmal kompakt aufgeschrieben mit deinen Erklärungen. Ich hoffe es sind keine Fehler enthalten.
[mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (i)
Seien a ,b [mm] \in [/mm] R mit ab [mm] \in [/mm] P
[mm] (ab)=abR\subseteq [/mm] P da P Ideal ist
[mm] (ab)=abR=ab\sum_{i=1}^n r_i r_i' [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] ab [mm] r_i r_i'=\sum_{i=1}^nar_ibr_i'=(a)*(b) [/mm] mit [mm] r_i,r_i' \in [/mm] R [mm] \forall 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow (a)*(b)\subseteq [/mm] P [mm] \Rightarrow (a)\subseteq [/mm] P [mm] \vee [/mm] (b) [mm] \subseteq [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] P [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] P
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Do 19.02.2015 | | Autor: | statler |
D'accord.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
Merci !
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Edit: Hier stand Quatsch.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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