www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperPrimideale
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Primideale
Primideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Primideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Di 24.11.2009
Autor: kunzmaniac

Aufgabe
Sei R ein Ring , dann ist [mm] $\wurzel{0}$ [/mm] = [mm] $\bigcap_{p \ Primideale}p$. [/mm]

Hallo,

die eine Richtung ist klar, für die andere haben wir als Tipp das Lemma von Zorn bekommen.
Vielleicht etwa so?

$x [mm] \in R\setminus \wurzel(0)$ [/mm]
[mm] $\Sigma [/mm] := [mm] \{ I \ Ideale \ in \ R \ mit\ x^{k} \notin I \ \forall \ k\}$ [/mm]

Die Inklusion $I [mm] \subset [/mm] J$ definiert eine Halbordnung auf [mm] $\Sigma$, $\wurzel(0) \in \Sigma$ [/mm] und jede Kette hat als obere Schranke die Vereinigung ihrer Elemente (ja das gibt wieder ein Ideal... ^^).
Nach dem Lemma von Zorn gibt es dann ein maximales Element $P [mm] \in \Sigma$. [/mm] Gibt es jetzt eine  Möglichkeit zu zeigen, dass P prim ist, dann würde nähmlich folgen, dass
[mm] $x\notin\wurzel(0) \Rightarrow x\notin\bigcap_{p \ Primideale}p$. [/mm]
Also müsste ich jetzt entweder zeigen, dass R/P Integritätsbereich ist, oder eben direkt P prim und da fangen die Probleme an...

vielleicht hat ja jemand eine Idee.

        
Bezug
Primideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Di 24.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei R ein Ring , dann ist [mm]\wurzel{0}[/mm] = [mm]\bigcap_{p \ Primideale}p[/mm].
>  
> Hallo,
>  
> die eine Richtung ist klar, für die andere haben wir als
> Tipp das Lemma von Zorn bekommen.
>  Vielleicht etwa so?
>  
> [mm]x \in R\setminus \wurzel(0)[/mm]
>  [mm]\Sigma := \{ I \ Ideale \ in \ R \ mit\ x^{k} \notin I \ \forall \ k\}[/mm]
>  
> Die Inklusion [mm]I \subset J[/mm] definiert eine Halbordnung auf
> [mm]\Sigma[/mm], [mm]\wurzel(0) \in \Sigma[/mm] und jede Kette hat als obere
> Schranke die Vereinigung ihrer Elemente (ja das gibt wieder
> ein Ideal... ^^).
>  Nach dem Lemma von Zorn gibt es dann ein maximales Element
> [mm]P \in \Sigma[/mm]. Gibt es jetzt eine  Möglichkeit zu zeigen,
> dass P prim ist, dann würde nähmlich folgen, dass
> [mm]x\notin\wurzel(0) \Rightarrow x\notin\bigcap_{p \ Primideale}p[/mm].
> Also müsste ich jetzt entweder zeigen, dass R/P
> Integritätsbereich ist, oder eben direkt P prim und da
> fangen die Probleme an...

EDIT: Fehler korrigiert

Das ist der richtige Weg. Nimm doch mal an, du haettest $a, b [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] [red]$\red{a b \in P}$ [/mm] und [mm] $\red{a, b \not\in P}$[/red]. [/mm] Dann sind [mm] $\langle [/mm] a, P [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] b, P [mm] \rangle$ [/mm] zwei Ideale echt groesser als $P$: da $P$ maximal in [mm] $\Sigma$ [/mm] ist sind sie damit nicht in [mm] $\Sigma$, [/mm] womit es [mm] $k_1, k_2 \in \IN$, $y_1, y_2 \in [/mm] R$ und [mm] $p_1, p_2 \in [/mm] P$ gibt mit [mm] $x^{k_1} [/mm] = a [mm] y_1 [/mm] + [mm] p_1$, $x^{k_2} [/mm] = b [mm] y_2 [/mm] + [mm] p_2$. [/mm]

Jetzt rechne doch mal [mm] $x^{k_1} x^{k_2}$ [/mm] aus.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Primideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:35 Mi 25.11.2009
Autor: kunzmaniac

Hallo Felix,

erst mal danke für die Antwort, mir ist die Schreibweise <a, P> nicht ganz geläufig. Ist das das von a und P erzeugte Ideal, also das kleinste Ideal, was <a> und P enthält?
Wenn ich <a, P> richtig verstanden habe kann <a, P> nicht in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegen, also muss [mm] $x^{k1} \in [/mm] <a, P>$ und [mm] $x^{k2} \in [/mm] <b, P>$ für k1, k2 geeignet.
wenn ich das ausrechne kommt dann mit der Idealeigenschaft von P heraus,
aby1y2 + p' wobei p' irgendein Element aus P ist.
Da stecke ich schon wieder fest.... wie willst Du überhaupt schließen, die Umkehrung von $a*b [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] P$ wäre doch  
$a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \notin [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \notin [/mm] P$

Bezug
                        
Bezug
Primideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Mi 25.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> erst mal danke für die Antwort, mir ist die Schreibweise
> <a, P> nicht ganz geläufig. Ist das das von a und P
> erzeugte Ideal, also das kleinste Ideal, was <a> und P
> enthält?

Genau das ist damit gemeint :) Manche schreiben auch $(a, P)$ oder $a R + P$ dafuer.

>  Wenn ich <a, P> richtig verstanden habe kann <a, P> nicht

> in [mm]\Sigma[/mm] liegen, also muss [mm]x^{k1} \in [/mm] und [mm]x^{k2} \in [/mm]
> für k1, k2 geeignet.

Genau.

>  wenn ich das ausrechne kommt dann mit der Idealeigenschaft
> von P heraus,
>  aby1y2 + p' wobei p' irgendein Element aus P ist.
>  Da stecke ich schon wieder fest....

Du weisst doch, dass $a b [mm] \in [/mm] P$ ist.

> wie willst Du
> überhaupt schließen, die Umkehrung von [mm]a*b \in P \Rightarrow a \vee b \in P[/mm]
> wäre doch  
> [mm]a \wedge b \notin P \Rightarrow a*b \notin P[/mm]

Ich will einen Widerspruch ;-) Daraus folgt, dass es keine $a, b [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] P$ mit $a b [mm] \in [/mm] P$ gibt, womit $P$ ein Primideal ist.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Primideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:20 Mi 25.11.2009
Autor: kunzmaniac

Hallo,

ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.
Wir hatten doch $ab [mm] \notin [/mm] P) angenommen!
[mm] $x^{k1}*x^{k2}$ [/mm] müssen im Schnitt von <a, P> und <b, P> = P liegen, weil beides Ideale sind. also muss aby1y2 in P liegen. warum muss dann ab aus P sein?



Bezug
                
Bezug
Primideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Mi 25.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.
> Wir hatten doch ab [mm]\notin[/mm] P) angenommen!

Oh, da hab ich mich wohl vertan: ich meinte $a b [mm] \in [/mm] P$, aber $a, b [mm] \not\in [/mm] P$! Diesen Fall will man ja ausschliessen, damit es ein Primideal ist.

Ist es damit klarer?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Primideale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Mi 25.11.2009
Autor: kunzmaniac

ja, danke nochmal.

ich glaube der Groschen ist gefallen.

ich war ja bei

aby1y2 + p'

jetzt weiß ich, dass muss in dem Ideal (ab, P) liegen, das kann aber nicht in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegen, da es ja eine Potenz von x enthält. Also ab nicht in P, da sonst P = (ab, P). fertig.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]