Primideale und Lokalisierung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich habe Probleme, folgende Sachverhalte zu begründen:
1. [mm] (2m)\IZ [/mm] ist ein Primideal in [mm] 2\IZ \gdw [/mm] m ist eine ungerade Primzahl
2. Bestimmen Sie die Lokalisierung von [mm] 2\IZ [/mm] am Primideal [mm] 6\IZ [/mm] und geben Sie die Einbettung dieser Lokalisierung in [mm] \IQ [/mm] an.
Habe mir zu 1. folgendes überlegt:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei also [mm] (2m)\IZ [/mm] ein Primideal. dann gibt es r,s in [mm] 2\IZ [/mm] mit [mm] r*s=2m\IZ, [/mm] wobei oBdA r in [mm] (2m)\IZ. [/mm] Dann gibt es x,y aus [mm] 2\IZ [/mm] mit 2mx*s=2m*y und daraus folgt: x*s=y.
Irgendwie sehe ich hier die Behauptung, das m eine ungerade Primzahl ist nicht.
Habe ich was falsch gemacht und hat jemand einen Tipp für mich?
Zu 2.
Wie gebe ich eine Lokalisierung denn an? Was gehört dazu?? Versteht man unter einbettung, welcher "Bereich" von [mm] \IQ [/mm] diese Lokalisierung ausmacht?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Lieben Gruß,
Phatjunxs.
|
|
| |
|
Grüße!
Also zunächst nochmal die Definition: Ist $R$ ein Ring und $I [mm] \subseteq [/mm] R$ ein Ideal in $R$, dann heißt $R$ Primideal, falls aus $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] I$ schon folgt $a [mm] \in [/mm] I$ oder $b [mm] \in [/mm] I$.
Ich verstehe leider Deine Argumentation überhaupt nicht - ich werde mal die andere Richtung versuchen, vielleicht gibt Dir das einen Hinweis.
Also, sei $m$ eine ungerade Primzahl (also $m$ prim und $m [mm] \not= [/mm] 2$) und seien $a,b [mm] \in [/mm] 2 [mm] \IZ$ [/mm] mit $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] (2m) [mm] \IZ$. [/mm] Dann teilt $m$ das Produkt $a [mm] \cdot [/mm] b$ (in [mm] $\IZ$) [/mm] und teilt damit entweder $a$ oder $b$. Das folgt aus der Eigenschaft, in [mm] $\IZ$ [/mm] eine Primzahl zu sein. Nimm ohne Einschränkung an, dass $m$ die Zahl $a$ teilt.
Dann gilt: $a = m [mm] \cdot [/mm] k$ für ein $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Aber es gilt auch $a [mm] \in [/mm] 2 [mm] \IZ$, [/mm] also ist $a$ gerade. Wegen $m [mm] \not= [/mm] 2$ (also ungerade, da prim) muß also $k$ gerade sein und daher kann man schreiben $a = 2m [mm] \cdot [/mm] k'$, also $a [mm] \in [/mm] (2m) [mm] \IZ$.
[/mm]
Zu b):
Ist $I$ wie oben ein Primideal, so gilt für $a,b [mm] \notin [/mm] I$ dementsprechend $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \notin [/mm] I$ und damit ist $S := R [mm] \backslash [/mm] I$ eine multiplikativ abgeschlossene Menge, an der man lokalisieren kann.
Eine Lokalisierung kannst Du als Menge von Brüchen angeben. Wenn Du z.B. [mm] $\IZ$ [/mm] an der multiplikativ abgeschlossenen Menge [mm] $\{ 2^k : k \in \IN_0 \}$ [/mm] lokalisierst, erhältst Du alle Brüche in [mm] $\IQ$ [/mm] mit einer Zweierpotenz im Nenner.
Und von dem Typ ist auch hier die Antwort: Du erhältst eine bestimmte Klasse von Brüchen - welche? Bedenke, dass wenn Zähler und Nenner beide durch 2 teilbar sind, dann kannst Du kürzen...
Viel Erfolg!
Lars
|
|
|
|
