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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Primzahl n bei Z/nZ
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Primzahl n bei Z/nZ: Z/nZ n prim
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 09.04.2014
Autor: stuart

Aufgabe
Zeigen Sie:
Z/nZ einfach <=> n prim


Guten Tag,
ich habe das Problem das ich keine Ahnung habe wie ich anfangen soll. Weder die eine noch die andere Richtung.
Ich bin dankbar für jeden Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Primzahl n bei Z/nZ: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 09.04.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hallo stuart,

Geht es um einfache Gruppen? Falls eine Gruppe kommutativ ist, definiert jede nichttriviale echte Untergruppe eine Kongruenz.
Falls es um Moduln o.Ä. geht, ersetze überall "Gruppe" durch "Modul".

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Bezug
                
Bezug
Primzahl n bei Z/nZ: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Mi 09.04.2014
Autor: stuart

Es geht um einfache Gruppen. Noch nichts mit Moduln
Bezug
        
Bezug
Primzahl n bei Z/nZ: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mi 09.04.2014
Autor: felixf

Moin!

> Zeigen Sie:
>  Z/nZ einfach <=> n prim

Wenn $n$ nicht prim ist, kannst du in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ein Element mit einer Ordnung finden, die weder 1 noch $n$ ist. Dieses Element erzeugt einen nicht-trivialen Normalteiler.

Wenn [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] nicht einfach ist, gibt es eine nicht-triviale Untergruppe. Nimm ein Element ungleich dem neutralen Element daraus. Welche Ordnungen kann es haben? Was bedeutet das fuer die Gruppenordnung $n$?

LG Felix

Bezug
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