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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:48 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallöchen !!!
Ich habe folgendes Problem: Ausgehend von der Sinusfunktion
[mm] {f_n(x)= \produkt_{i=1}^{n}\sin(\bruch{x*\pi}{p_{i}})} [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm]
wobei hier [mm] p_{i} [/mm] die Primzahlen durchläuft.
Setze ich nun n=1 und [mm] p_1=2, [/mm] also die erste Primzahl, dann ist die erste natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3.
Setze ich nun n=3 , so ist [mm] p_1=2 [/mm] und [mm] p_2=3 [/mm] ; die nächste Nicht-Nullstelle im Bereich der natürlichen Zahlen ist dann die 5.
Ist es nun irgendwie möglich die Nicht-Nullstellen in Nullstellen umzuwandeln ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathmark,
willkommen im MatheRaum  !
> Ich habe folgendes Problem: Ausgehend von der
> Sinusfunktion
> [mm] {f_n(x)= \produkt_{i=1}^{n}\sin(\bruch{x*\pi}{p_{i}})} [/mm] mit
> [mm] n\in \IN [/mm]
> wobei hier [mm] p_{i} [/mm] die Primzahlen durchläuft.
> Setze ich nun n=1 und [mm] p_1=2, [/mm] also die erste Primzahl, dann
> ist die erste natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3.
Und was ist mit der 1?
> Setze ich nun n=3 , so ist [mm] p_1=2 [/mm] und [mm] p_2=3 [/mm] ; die nächste
> Nicht-Nullstelle im Bereich der natürlichen Zahlen ist dann
> die 5.
Und hier ebenfalls?
Nicht uninteressant, diese Funktion/Aufgabe.
Die Funktion [mm] f_n [/mm] ist ja so etwas wie das Sieb des Eratosthenes, denn die Nullstellen von [mm] f_n [/mm] sind ja gerade alle Vielfache von [mm] $p_1,\ldots,p_n$ [/mm] (und damit sicher keine Primzahlen).
> Ist es nun irgendwie möglich die Nicht-Nullstellen in
> Nullstellen umzuwandeln ?
Hier ist mir nicht ganz klar, was du willst.
Willst du eine ähnliche Funktion [mm] g_n [/mm] angeben, für die einfach gilt: [mm] $g_n(x)=0\;\;\gdw\;\;f_n(x)\neq0\;\wedge\;x\in\IN$?
[/mm]
Falls du nur irgendeine Funktion angeben sollst:
[mm] $g_n(x)=1$, [/mm] falls [mm] $x\not\in\IN$
[/mm]
[mm] $g_n(x)=0$, [/mm] falls [mm] $x\in\IN\;\wedge\;f_n(x)\not=0$ [/mm]
Gib' noch mal kurz Bescheid, was du eigentlich willst
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus
> > > Setze ich nun n=1 und [mm] p_1=2, [/mm] also die erste
> Primzahl,
> > dann
> > > ist die erste natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3.
> >
> > Und was ist mit der 1?
> >
> Die 1 ist keine Primzahl! p1 = 2 ist
Ja, klar, die Bemkerung bezog sich auch nicht auf die Primzahlen, sondern auf die Behauptung, dass die erste natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3 sei für n=1.
> korrekt, und 2 ist tatsächlich die erste Nullstelle ( >
> 0)
Ich bleibe bei der 1 als erste Nullstelle > 0
Aber es gilt (hat jetzt aber nichts damit zu tun ): [mm] $p_{i+1}=\{\mbox{erste natürliche Nicht-Nullstelle von } f_{p_i} \mbox{ außer 1}\}$
[/mm]
> > > Ist es nun irgendwie möglich die Nicht-Nullstellen in
>
> > > Nullstellen umzuwandeln ?
> >
>
> Die Nicht-Nullstellen sind ja ganze Intervalle in [mm]\mathbb R[/mm]!?!
>
>
> Das Vorhaben scheint auch mit noch etwas
> erklärungsbedürftig!
Mir auch noch.
Vielleicht geht es ja darum, eine Art erzeugenden Funktion zu basteln, die genau die Primzahlen [mm] $\le [/mm] n$ als Nullstellen hat?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Paulus |
> Hallo Paulus
>
> > > > Setze ich nun n=1 und [mm] p_1=2, [/mm] also die erste
> > Primzahl,
> > > dann
> > > > ist die erste natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3.
> > >
> > > Und was ist mit der 1?
> > >
> > Die 1 ist keine Primzahl! p1 = 2 ist
>
>
> Ja, klar, die Bemkerung bezog sich auch nicht auf die
> Primzahlen, sondern auf die Behauptung, dass die erste
> natürliche "Nicht-Nullstelle" die 3 sei für n=1.
Oh, ich Depp! Ich habe den Fehler vom Mathmark gar nicht gesehen!
>
> > korrekt, und 2 ist tatsächlich die erste Nullstelle ( >
>
> > 0)
>
> Ich bleibe bei der 1 als erste Nullstelle > 0
>
... und ich Dickschädel bleibe bei der 2
denn wenn ich für x = 1 setze (mit p1 = 2), dann erhalte ich
[mm]\sin \bruch{\pi}{2}[/mm]
... und wenn das 0 ist, dann fress ich einen Besen (mitsamt Stiel)! !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus,
> > Ich bleibe bei der 1 als erste Nullstelle > 0
> >
> ... und ich Dickschädel bleibe bei der 2
Jaja, ich bin der Depp Ich meinte natürlich "Ich bleibe bei der 1 als erste (natürliche) Nicht-Nullstelle > 0".
> denn wenn ich für x = 1 setze (mit p1 = 2), dann
> erhalte ich
>
> [mm]\sin \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> ... und wenn das 0 ist, dann fress ich einen Besen (mitsamt
> Stiel)! !!
Schade, ich hatte mir jetzt irgendwie gewünscht, es sei 0
Aber, klar, ich habe mit meiner versuchten Richtigstellung nur verwirrt, sorry.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Sa 08.05.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallo hier ist Mathmark nocheinmal, zwar ein bisschen spät aber immerhin.
Also es geht nochmals um folgendes:
[mm] f_{1}(x)=\sin (\bruch{x*\pi}{2}) [/mm] da [mm] p_1=2. [/mm] Die nächste Nicht-Nullstelle grösser als 2 ist x=3.Somit folgt
[mm] f_{2}(x)=\sin( \bruch{x*\pi}{2})*\sin (\bruch{x*\pi}{3}) [/mm] da [mm] p_1=2 [/mm] und [mm] p_2=3.
[/mm]
Nicht-Nullstelle (Nn) ist x=5.Also
[mm] f_{3}(x)=\sin(\bruch{x*\pi}{2})*\sin(\bruch{x*\pi}{3})*\sin(\bruch{x*\pi}{5})
[/mm]
Nn: x=7.
Die Funktion wird immer wieder auf diese Art erweitert und die jeweils nächste "Nicht-Nullstelle" [mm] (x=p_{n+1}) [/mm] wird aus [mm] p_{1},p_{2},...p_{n} [/mm] ermittelt. Es ist somit eine Form der rekursiven Primzahlermittlung.Das Problem liegt nur in den "Nicht-Nullstellen", da mann sie nur durch probieren findet.Ihr solltet diese Funktion mal in einem Funktionsplotprogramm eingeben und schauen was passiert.Alle natürlichen Zahle [mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:49 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathmark!
> [mm] f_{1}(x)=\sin (\bruch{x*\pi}{2}) [/mm] da [mm] p_1=2. [/mm] Die nächste
> Nicht-Nullstelle grösser als 2 ist x=3.Somit folgt
> [mm] f_{2}(x)=\sin( \bruch{x*\pi}{2})*\sin (\bruch{x*\pi}{3}) [/mm]
> da [mm] p_1=2 [/mm] und [mm] p_2=3.
[/mm]
> Nicht-Nullstelle (Nn) ist x=5.Also
>
> [mm] f_{3}(x)=\sin(\bruch{x*\pi}{2})*\sin(\bruch{x*\pi}{3})*\sin(\bruch{x*\pi}{5})
[/mm]
> Nn: x=7.
> Die Funktion wird immer wieder auf diese Art erweitert und
> die jeweils nächste "Nicht-Nullstelle" [mm] (x=p_{n+1}) [/mm] wird aus
> [mm] p_{1},p_{2},...p_{n} [/mm] ermittelt. Es ist somit eine Form der
> rekursiven Primzahlermittlung.
Ich denke, das war Paulus und mir klar.
> Das Problem liegt nur in den
> "Nicht-Nullstellen", da mann sie nur durch probieren
> findet.Ihr solltet diese Funktion mal in einem
> Funktionsplotprogramm eingeben und schauen was
> passiert.Alle natürlichen Zahle [mm]
> Nullstellen.
Das Problem ist: Was willst du?
Zum Beispiel deine Frage "Ist es nun irgendwie möglich die Nicht-Nullstellen in Nullstellen umzuwandeln ?" verstehe ich nicht.
Würdest du gerne eine Funktion haben, die genau an den natürlichen Nicht-Nullstellen von [mm] f_n [/mm] Nullstellen hat?
Und falls ja, soll es für diese Funktion einen geschlossenen Ausdruck geben oder reicht dir die in meiner ersten Antwort vorgeschlagene Definition von [mm] $g_n$?
[/mm]
> Es gilt also vorerst zu zeigen, ob diese
> "Rekursionsmethode" für alle Primzahlen gilt !!!
Ja, klar, denn das ist ja gerade das Prinzip des Siebs des Eratosthenes.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 So 09.05.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallöchen !!!
Also, ich will versuchen eine rekursive Formel und somit dann eventuell eine explizite Darstellung der Primzahlfolge zu finden.
Den Ansatz über [mm] f_n(x)=\produkt_{i=1}^{n}\sin(\bruch{x*\pi}{p_i}) [/mm] finde ich schon sehr interessant und versuche nun diese Funktion in dem Maße umzuformen, dass sie gerade diese Nicht-Nullstellen als Nullstellen aufweist.
Vielleicht könnte man eine zweite Funktion bestimmen, die gerade diese Nicht-Nullstellen als Nullstellen aufweist, oder als Extrema.
Mir fehlt einfach nur ein Gedankenblitz.
MfG Mathmark
P.S. Vielen Dank erstmal für Eure Unterstützung und ein Kompliment an Eure Foren, sehr hilfreich und interessant!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 09.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mathmark,
> Also, ich will versuchen eine rekursive Formel und somit
> dann eventuell eine explizite Darstellung der Primzahlfolge
> zu finden.
Willst du in die Geschichtsbücher eingehen? 
> Den Ansatz über
> [mm] f_n(x)=\produkt_{i=1}^{n}\sin(\bruch{x*\pi}{p_i}) [/mm] finde ich
> schon sehr interessant und versuche nun diese Funktion in
> dem Maße umzuformen, dass sie gerade diese
> Nicht-Nullstellen als Nullstellen aufweist.
Da sehe ich keine Möglichkeit.
> Vielleicht könnte man eine zweite Funktion bestimmen, die
> gerade diese Nicht-Nullstellen als Nullstellen aufweist,
> oder als Extrema.
Kein Problem:
Die auf den natürlichen Zahlen definierte Funktion
[mm]f(x) = \sin\left( \frac{(x-1)!+1}{x} \cdot \pi\right)[/mm]
hat nach dem
Satz von Wilson:
Für alle [mm]p \in \IN[/mm], [mm]p \ge 2[/mm], gilt:
[mm]p[/mm] prim [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]p\, |\, [(p-1)!+1][/mm]
ihre Nullstellen genau in der Menge der Primzahlen (und in [mm]1[/mm]).
Nette Spielerei, aber das bringt über die Primzahlverteilung keine neuen Erkenntnisse. (Ist aber trotzdem interessant, klar. )
Liebe Grüße
Stefan
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